Financial Engineering Lesson

金融学发展历程

金融学的研究对象与主要方法

传统经济学分析方法：古典政治经济学

• Adam Smith，1776年《An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations》
• 英国人Thomas Malthus，1798年《An Essay on the Principle of Population》
• 英国人David Ricardo，1817年《On the Principles of Political Economy and Taxation》
• 英国人John Mill，1848年《Principles of Political Economy》
• 德国人Karl Marx，他1867年《Capital》

传统经济学分析方法：边际分析

• 19世纪70年代，英国人William Jevons、奥地利人Carl Menger（、在瑞士的法国人Leon Walras发起所谓边际革命，用边际分析取代古典经济学家的价值分析
• 美国人John Bates Clark，1891年发表《Distribution as Determined by a Law of Rent》，提出要素价格由要素对生产的边际贡献决定，从而把分配问题也统一进了价格形成问题
• 英国人Alfred Marshall，1890年出版了著作《Principles of Economics》

传统经济学分析方法：一些新变化

• 宏观经济学的建立

  • 新古典经济学假设市场永远出清，因此难以解释20世纪30年代的大萧条。英国人John Maynard Keynes，1936年出版著作《The General Theory of Employment, Interest and Money》，提出了一套认为市场可以不出清的新理论。
  • 美国人Paul Samuelson把新古典经济学的微观理论和凯恩斯主义的宏观理论结合起来，叫做新古典综合neoclassical synthesis。新古典综合的微观和宏观是割裂的
  • 经由美国人Milton Friedman和Robert Lucas等人的批判和重构，20世纪70年代后有微观基础的宏观经济学建立了起来。

• 数学工具的引入

  • 数学在经济学里的运用在19世纪就有了。Marshall就是学数学出身的，但他不在正文中用数学，只把数学放在附录里。
  • 1947年Samuelson的著作《Foundations of Economic Analysis》是一个分水岭，在此之前，很少有经济学论文用数学，在此之后，很少有经济学论文不用数学

• 博弈论的引入

  • 数学工具博弈论来分析人和人之间的行为来进一步探索人和市场之间的关系
  • 匈牙利数学家John von Neumann和奥地利经济学家Oskar Morgenstern，1944年出版著作《Theory of Games and Economic Behavior》，创立了博弈论
  • 之后美国数学家John Nash和美国经济学家Lloyd Shapley分别建立了非合作博弈和合作博弈的基础
  • 80年代后博弈论在经济学中的地位越来越重要

• 一般均衡理论的建立

  • 个体做出选择以最大化偏好，所有个体的决定彼此相符称为均衡
  • 消费者决定需求，生产者决定供给，单个市场的供给和需求相等称为部分均衡，所有市场的供给和需求相等称为一般均衡。
  • 英国人John Hicks（1904-1989），1939年出版《Value and Capital》中建立了消费者需求理论。
  • 美国经济学家Kenneth Arrow和法国经济学家Gérard Debreu，1954年合作发表了论文《Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy》，证明了一般均衡的存在
  • 美国人Gary Becker（经济学帝国主义）甚至把经济学中的均衡分析广泛应用于非市场行为。

• 新制度经济学

  • 英国经济学家Ronald Coase在1937年的论文《The Nature of the Firm》和1960年的论文《The Problem of Social Cost》中指出了产权和交易成本对经济制度运行的重要性。
  • 后续的经济学家将他的思想严格表述，使新制度经济学成为主流经济学的一部分。

• 从完全信息到不完全信息

  • 新古典经济学假设信息是完全的，但现实中人们往往得不到完全信息，并且信息在不同人之间往往是不对称的。新古典经济学认为市场可以通过价格来调节供需，于是波兰经济学家Oskar Lange指出，可以让中央计划者来模拟市场，用虚拟的报价来调节供需，这样计划经济就可行了，这叫市场社会主义
  • 1945年奥地利经济学家Friedrich Hayek发表论文《The Use of Knowledge in Society》回应，指出计划经济之所以不可行，关键在于信息。每个人拥有的信息是不一样的，市场机制中价格的作用不只是调节供需，更是传递信息，而靠中央计划者传递信息效率会很低
  • 1951年Arrow出版著作《Social Choice and Individual Values》，建立了社会选择理论，研究人们的偏好不一样时如何加总的问题
  • 到70年代美国经济学家Leonid Hurwicz把Arrow的社会选择理论和Hayek的信息传递理论结合起来，建立了机制设计理论。机制设计理论和前面提到的博弈论是反的，博弈论是给定规则求结果，而机制设计理论是给定结果设计规则。机制设计理论是现在在不完全信息下做研究的基本框架，有两个研究方向，一个是信息传递，一个是执行结果。从机制设计的角度看，市场、政府、企业都只是让偏好和信息不同的个人获得激励的机制，各有其适用范围。

• 实验经济学和行为经济学

  • 2002年诺贝尔经济学奖授予了拓宽传统经济学的美国经济学家Vernon Smith和美国心理学家Daniel Kahneman
  • 传统上经济学界曾经认为经济学是没法做实验的，由于Smith等人的努力，现在经济学界知道，有些问题是可以用实验研究的
  • 经济学中的实验有在实验室中进行和在现实中实地进行两种。传统上经济学只是简单地假设个体偏好，Kahneman等人把心理学引入了经济学，从而产生深入研究人类偏好和行为的新经济学分支——行为经济学

现代主流经济学的无力

• 以短期代替长期

  • 经济学所研究的是理性经济人的短期行为，对于跨越漫长历史时期，和代际的分析不够清晰。在代际模型中，经济人甚至会为了本期多消费而对未来借贷。这样，经济学就忽视了一代人为了子孙后代所做的努力。以中国的实践，牺牲当前利益为后人抛头颅、谋福利的全局行为就很难理解。例如比较优势学说。

• 以静态代替变化

  • 随着技术发生变化，社会基础发生变化，导致人类行为必然发生变化，但现代经济学显然忽视了这个问题，在经济学的研究中，经济学家倾向于研究某一个静止的历史阶段，把生产力变迁当成是外生变量而讨论所谓均衡，极其可笑。例如一般均衡学说

• 以现象代替本质

  • 经济活动包括两重行为，其一是人和自然界的关系，即生产活动、消费活动；其二是人和人的关系，即分配、交换行为。不管怎样说，经济活动都不可能被市场行为所涵盖。但现代经济学研究的是市场活动以及市场活动背后人和人的交易行为（博弈论）。研究市场是研究现象，不能取代对人和人关系以及人和自然的关系这种本质的研究

传统金融学分析方法

• 风险-收益分析（马科维茨，1952年）

  • 马科维茨用预期收益和方差来分析资产组合，然后形成了有效边界、SML、量基金分离定理、CML等概念，直到CAPM的出现
  • CAPM模型出现后，出现了一系列证明方法和新模型

• 无套利定价分析

  • 发端于莫迪里阿尼和米勒的MM定理的启发
  • 布拉克和斯科尔斯在1972年发表了BSM模型，引发了人们对于风险中性定价的思考
  • Cox等，1979年提出了二叉树模型，精炼了BSM的理论思路，并为计算机在定价中发挥作用提供了基础
  • Ross，1979年提出套利定价理论（APT），进一步完善了无套利定价理论
  • 鞅理论的提出，为风险中性定价提供了数学上的理论基础
  • 风险空间中的线性定价理论

• 有效市场假说（EMH）

金融学的演进

• 面向已有问题

  • 发展更为复杂的金融模型
  • 研究金融风险度量
  • 资产定价
  • 投资组合与量化交易策略
  • 信息技术在金融中的应用

• 面向未来业务

  • 金融产品设计、金融合约
  • 理论资产定价模型
  • 金融市场结构与金融行业机制设计

当代金融学的主要问题

金融学的无力

• 神似赌场中的职业赌徒对赌博的研究
• 忽略关键的问题（如何支持经济发展或者生产力发展）而过度关注如何赚钱（通过对赌交易赚钱）
• 英国、美国的去工业化及其后果

经济学家（或者说金融学家）傻吗？

• 共同问题：

  • 学说的阶级属性：经济学家的阶级属性必然带有局限性，例如，西尼尔教授的最后一小时理论
  • 学者的自身视角的局限性（有些人脑子就比较一般），例如，西斯蒙第、蜜蜂的寓言

• 中国学者的特殊问题：经济学者的报国情怀

• 金融学的学者是否更高明？

解决问题的要点

• 实践！实践！实践！
  • 学说必须走群众路线，从实际出发，理论联系实际，才能做出优秀的学说——现代经济学和金融学基本上已经走入死路（理论模型派、实证派、实验研究派）
• 恢复政治经济学的研究传统
  • 古典政治经济学致力于研究人和人之间的关系，这个思路是对的，能解决问题，边际分析现在看，可能是一条邪路
  • 不完善的道路也比完善的邪路强得多
• 结构化的研究方法
  • 学说的由来：西方学术研究体系潜在的解构主义的思路（不是解构主义）
  • 学说的未来：必须回归到对人类社会的整体研究中来，不能封闭在自己的理论框架之下

如果没有自己的方法论会如何？

• 几种结果：
  • 难以区分错误的事实：投资一带一路的钱和用来扶贫的钱不一样吗？
  • 难以区分错误的逻辑：美国对华制裁是中国咎由自取吗？
  • 难以区分错误的结论：美国主导的全球体系不会瓦解吗？

金融工程学的发展历程与主要逻辑

什么是金融工程

• 金融工程包括创新型金融工具与金融手段的设计、开发与实施，以及对金融问题给予创造性的解决——美国金融学家约翰·芬尼迪（John Finnerty）
  • 狭义的金融工程：利用数学及通讯工具，在各种现有基本金融产品的基础上，进行不同形式组合分解，以设计出符合客户需要并具有特定风险-收益的新型金融产品
  • 广义的金融工程：指一切利用工程化手段来解决金融问题的技术开发，它不仅包括金融产品设计，还包括金融产品定价、交易策略设计、金融风险管理等各个方面
  • 最广义的金融工程：利用所有手段来解决金融问题进而解决经济问题、社会问题等多种问题的方案设计与实施

金融工程发展略要

• 金融工程发展略要
  • 上世纪50-70年代金融理论的发展
  • 信息科学的发展：金融工程就是指借助先进而庞大的金融信息系统，用系统工程的方法对现代金融理论和计算机信息技术综合结合在一起，通过运用科学的数学模型、网络图解、仿真技术等方法来设计各种各样的新型金融产品，创造性的解决各种各样金融问题的学科（国际金融工程师协会对“金融工程”的定义）
  • 现实的需求：1970s开始的金融创新；1988年对金融工程的最初定义；
• 金融工程给金融业带来的兴衰
  • 凯恩斯计划、布雷顿森林体系及其瓦解、黄金非货币化（1970s）以及全球供养体系的建立
  • 冷战的胜利、美国全球霸权的建立及其衰落、金融危机

研究金融工程的目的

• 理论价值
  • 能够给资产定价，帮助市场更好的发挥价格发现的功能，提高资本市场运行效率，从而促进经济发展，给人民带来更好的未来
  • Q派的价值：对新的衍生品能够给出一个相对合理的定价
  • P派的价值：能够对有历史数据的产品估算出一个相对合理的定价
• 实践价值
  • 有助于谋求类似衍生品交易、衍生品设计、量化交易等高薪工作
  • 吹牛的时候，在有些场合看起来好像比较厉害

当代金融所面对的主要问题

• 国际层面
• 国内层面
• 面向未来

金融学的三大方向

• 重构国际金融理论体系
• 风控、金融与经济活动关系的一般规律
• 面向未来的资源配置策略以及对高新技术估值

FRIT模型

• 当我们考虑一个经济问题的时候，我们或许应该意识到我们应该同时考虑如下四个方面：
  • F-Finance-金融或经济层面：基本分析方法是经济学或政治经济学的分析方法
  • R-Right-权利层面：基本分析方法是政治学的、国际政治学的分析方法
  • I-Industry & information-产业与信息层面：
    • I-Industry-产业层面：基本分析方法是产业经济学、管理学的分析方法
    • I-Information-信息层面：基本分析方法是信息科学、传媒学分析方法
  • T-Technology-技术层面：基本分析方法是科学与技术的分析方法
  • FRIT-Frit-将不透明的玻璃炉料烧成透明的玻璃：这是一个完整的思考方式，将所有经济活动理解为一个完整的、有历史的、动态的、真实的与可行的活动

FRIT的基本关系

• 谁是真实的？
  • RIT是真实的
    • T-人和自然界的关系，客观存在，容易量化
    • I-人和人与自然界的关系，主观色彩明显，可以量化
    • R-人和人的关系，纯粹的主观问题，难以量化，但确实存在
  • F是概念
    • 分配资源的工具：将有限的社会资源汇集起来后投入特定的方向
    • 分配利益的工具：对产生的回报进行分配

三个基本假设

• 假设1：个体差异假设（传统上，代理人假设、理性人假设等认为个体差异可以被忽略）
  • 个体差异普遍存在，这种差异体现在包括生物差异（智力、体能等各个方面）与社会差异（财富、权利等）
• 假设2：趋利避害假设（传统理论中，利害关系原则上是不可变的）
  • 所有参与选择的主体都倾向于趋利避害，利害的定义来自生物定义（可能是某种基因表达：如死亡、疼痛等）与社会定义（来自于社会定义：如尊重、财富等）以及边界模糊的定义（来自于生理和社会的交叉定义，如，美、善）
  • 社会定义是人为制定的概念，也是权利的一部分，会通过教育进行代际传承
• 假设3：有限信息与有限理性假设（传统理论认为人的理性是无限的）
  • 信息获取和处理都有明显的成本，信息处理能力作为一种人的能力也有成本和界限
  • 有限信息和有限信息处理能力可以被类似互联网之类的技术手段改变，理性的变化代表了认知能力水平的变化

几个基本结论

• 定理1：权利关系的来源是个体差异（不同于卢梭的看法）
• 定理2：维持权利关系的动机是维持不平等（如，权利的代际传承）
  • 假设1+假设2
• 定理3：维持权利关系的手段主要是制造并维持信息差异
  • 假设1+假设2+假设3
• 定理4：改变权利关系的主要手段是改变技术与改变教育
  • 假设3+定理3
  • 这里是改变而不一定是提高，譬如蛮族之于罗马，满清之于中华
• 定理5：改变权利关系的动机是技术、产业、信息变化后导致的利益变化
  • 假设2+定理4

几个可以作用在经济问题上的推论

• 三个关于R-I-T关系的推论
  • 权利关系在三者中是决定性的基础
    • 权利关系的产生、维持与发展是经济活动的目的，不存在无权利关系的经济活动（森的研究）
    • 权利决定分配，分配在交换中产生需求、需求产生满足需求的产业、产业需要激发技术进步
    • 需求同时刺激资源分配，诱导人才的个人选择
  • 技术可以改变权利关系
    • 技术变化可以提供新产业（烟草）、替代旧产业（电动汽车）或者使原有产业效率改变；产业的变化改变不同权利方的生产能力与社会价值；能力和地位的变化带来权利关系的变化
    • 例资本主义下产业是提供分配的根本渠道，技术新贵与产业新贵对old money的冲击
  • 权利关系转变的核心是成本收益分析（从旧有权利者的视角）
    • 所谓收益：原有权利者通过接纳新权利者而带来的收益
    • 所谓成本：1. 新权利者划走的收益，2. 新权利者“革命”带来的潜在损失

关于金融行业的几个推论

• 金融是一个工具而不是目的，金融是一个基于权利关系的制度安排
  • 目的是维持权利关系的稳定，个人命运可能有起伏，但阶级权利关系相当稳固
  • 为了目的，作为工具的金融制度安排可以被维持、调整或者重构
• 在权利关系目的明确的情况下，根据技术条件与产业条件的实际情况，存在具有优势的制度安排
  • 麦金农和肖的理论的实际谬误；金融分析理论（例如资产组合理论）的正确部分与错误部分；国际金融理论与一国内金融理论的逻辑差别
• 本质上，金融行业的从业者没有决定自己命运的逻辑和力量，在一切发生以前，金融行业的命运早已被注定，错误的制度安排会逐步得到修正，不可能长期维持
  • 换言之，金融行业本身的根本变化动力并不来自金融行业本身，在其他条件不变时，金融行业发展趋势也可以预判；但任何判断都不能忽视其它条件的变化而导致的行业本身的变化

涉及金融风险问题的几个推论

• 本质上，纯粹的金融风险并不存在，金融危机体现的是权利结构不稳导致的权利危机，无论金融危机在一国范围还是在国际范围
• 金融危机在任何情况下都不会在经济上对拥有主要分配权的人群整体产生负面的影响，确定谁掌握主导权是金融风险管理的核心问题
• 金融风险对不同金融机构的影响在本质上完全不同，要求不同的金融机构用统一的标准去管理金融风险，在管理层面或许有意义，但在金融机构本身生死存亡的问题上没有意义

期货市场的运作机制

期货合约

• 交易所交易
• 需要规定:
  • 什么能交割
  • 哪里能交割
  • 何时能交割
• 每日结算
• 通过一个相反的交易对合约进行平仓，大多数合约在到期之前进行平仓

期货价格收敛到即期价格

保证金

• 保证金是投资者存在经纪人处的现金或有价证券
• 保证金账户余额按每日结算进行调整
• 保证金将合约的违约损失概率最小化

期货交易举例

投资者在6月5日买入2份12月到期的黄金期货合约

• 合约规模为100盎司
• 期货价格为1250美元/盎司
• 初始保证金为6000美元/份（一共12000美元）
• 维持保证金为4500美元/份（一共9000美元）

可能的结果

期货价格上涨时，保证金现金流向

期货价格下跌时，保证金现金流向

专业术语

• 未平仓数量：正在交易的合约总数
  • 等于所有多头的总和，也等于所有空头的总和
• 结算价格：交易日结束前最后成交的期货合约价格
  • 用于计算每天合约的盈亏以及保证金的数量
• 交易量：一天交易合约的总和

2010年5月26日原油交易：

场外市场的抵押制度

• 场外市场交易中抵押制度越来越普遍
• 考虑公司A和公司B之间的场外交易
• 如果两公司之间设立抵押。假设第二天，场外交易对于公司A价值增长X，公司B需要向公司A支付X。反之亦然
• 如果公司A违约，公司B有权占有抵押品

场外市场的中心结算

• 传统上，场外市场的交易由双边进行结算
• 自2007-2009年金融危机后，美国以及世界各国政府纷纷通过 立法要求场外衍生产品通过中心结算机制来进行交易

双边交易与中心结算

交割

• 如果期货合约没有在到期日前平仓，通常需要通过交割基础资产进行结算。空头方有权决定交割资产种类、地点及时间
• 一些合约（如欧洲美元）以现金进行结算

远期合约与期货合约比较

利用期货的对冲策略

多头对冲与空头对冲

• 当投资者已知在将来需要买入一项资产并想在今天锁定价格时，可以采用多头对冲
• 当投资者已知将来要卖出一项资产并希望锁定价格时，可以采用空头对冲

拥护对冲的观点

• 公司应集中精力发展主业，采取措施将由利率、汇率和其他市场因素导致的风险最小化

反对对冲的观点

• 股东通常可以充分分散投资，并且制定自己的对冲策略
• 当竞争对手不对冲时，将增加对冲的风险
• 解释对冲导致的损失和基础资产产生的收益，通常非常困难

基差风险

• 完美对冲：是指完全消除风险的对冲策略
• 在实践中，完美对冲很少见
  • 对冲期限与期货合约的到期期限不一致
  • 对冲的资产与期货合约的标的资产不一致
• 在对冲意义下，基差定义为：
  • 基差＝被对冲资产的即期价格－用于对冲的期货合约的价格
• 期货平仓时基差的不确定性将带来基差风险
  • 基差风险 = 时间基差风险 + 级数基差风险

购买资产的多头对冲

出售资产时的空头对冲

合约的选择

• 选择与对冲的到期日最近但长于对冲到期日的交割月份
• 当不存在标的资产的期货合约时，选择期货价格与资产价格最为相关的期货合约。这就是交叉对冲

最优对冲比率

最优对冲比率的证明

最优合约数量

例：某航空公司将在一个月后购买200万加仑飞机燃料，并决定用加热油期货来对冲。

利率

利率的种类

• 国债利率
• 伦敦同业银行拆出利率（LIBOR）
• 回购利率

国债利率

• 政府以本国货币为计量单位发行的金融产品的利率

LIBOR和LIBID

• LIBOR是一家银行同意将资金存入另一家银行的利率（第二家银 行通常需拥有AA评级）
• 英国银行家协会每日公布针对主要货币、期限长达12个月的 LIBOR报价
• LIBID 是一家AA级银行同意其他银行存入资金时愿意支付的利率

回购利率

• 回购协议约定，持有证券的金融机构将证券出售给合约另一方， 并在将来以稍高价格将证券买回
• 该金融机构实际上获取一项贷款
• 回购利率根据卖出价格与回购价格之间的差额计算

无风险利率

• 传统上，衍生品从业者将LIBOR作为无风险利率
• 国债利率被认为人为地压低（见业界事例4-1）
• 后面将会解释:
  • 欧洲美元期货合约和利率互换的运用可以将LIBOR收益曲线延伸到一年以上
  • 隔夜指数互换利率（OIS）逐渐代替LIBOR作为无风险利率

利率的计量

• 复利频率定义了利率的计量方式
• 利率在不同计息频率下的关系可以类比为公里同英里之间的关系

复利的影响

连续复利

转换公式

例：

利率的规则

• 利率是以年利率的形式表示的

  • 便于不同投资方案的比较：投资承诺5年收益率为40%，投资承诺3年收益 率为23%

• 大部分利率报的都是名义利率

  

零息利率

• 零息利率（又称即期利率）是一项仅在到期日T支付本息的投资在期限T内的收益率

债券定价

• 为计算债券价格，需将每笔现金流以合适零息利率折现：

• 两年期票息6%、半年付息的债券的理论价格为：

  

债券收益率

• 债券收益率是使现金流的现值等于债券市场价格的折现率
• 假定债券市场价格等于其理论价格98.39
• 债券收益率（连续复利）可以通过下式

• 求得：y=0.0676 或 6.76%

平价收益率

• 一定期限内的平价收益率是使债券价格等于票面价值的票面利率

• 求得：c=6.87%（半年复利）

零息利率曲线的确定

票息剥离法

由以上数据得出的零息利率曲线：

远期利率

• 远期利率是由当前零息利率期限结构所揭示的将来期限内的零息利率
• 远期利率：现在时刻的将来一定期限的利率
• 即期利率：当前时刻起一定期限的利率

远期利率的计算公式

公式应用

瞬时远期利率

远期利率协议

• 远期利率协议（FRA）是一种场外交易，这种交易约定在将来某一时间段交易的一方将以某一利率借入或借出一定数量的资金
  • FRA的多方为利息支付者，即名义借款人，其订立FRA的目的主要是为了 规避利率上升的风险
  • FRA的空方为利息获得者，即名义贷款人，其订立FRA的目的主要是为了 规避利率下降的风险
• 在FRA中，借入或借出的利率通常为LIBOR
• 进行现金结算是FRA常见的做法，因此，FRA中的本金通常被称为名义本金

关键结果

• 远期利率协议等价于以预定利率（R_K）交换市场利率的一项协议
• 远期利率协议的定价通过假设远期LIBOR利率（R_F）一定会实现
• 这意味着远期利率协议的价值等于分别按R_K和R_F计算的利息差额 的折现值

定价

例:

• 远期利率合约规定，一家公司将在一年后收入6个月期限4%的固定利率
• 远期LIBOR利率为5%
• 1.5年期的连续复利利率为4.5%
• 远期利率协议的价值（百万美元）为：

• 如果一年后6个月期限利率为5.5% ，该公司将在1.5年后支付（百 万美元）

久期

关键久期关系

债券关系

• 债券组合的久期是组合中每个债券久期以价格为权重的加权平均
• 债券组合的关键久期关系描述了债券收益率曲线的微小变化产生的影响
• 如果资产的久期等于负债的久期，是否仍然存在其他风险？

凸性

利率期限结构理论

• 预期理论：远期利率等于未来即期利率的期望值
• 市场分割理论：短期、中期和长期利率互不相干
• 流动性偏好理论：远期利率高于将来零息利率期望值

流动性偏好理论

假定利率曲线是水平的，考虑以下选择

如果你是储户，你会如何选择？如果你是住房抵押贷款者，又会如何选择？

• 为匹配储户与贷款者，银行必须将长期利率高于预期将来短期利率

• 上例中，银行将提供以下选择

远期和期货价格的确定

投资资产与消费资产

• 投资资产是足够多的投资者为了投资而持有的资产（例如金融资产、黄金、白银）

• 消费资产是主要为了消费而持有的资产（例如铜、石油、猪肉）

卖空

• 卖空指卖出你并不拥有的证券
• 你的经纪人可以从其他的客户手中借入证券，然后在市场上卖出
• 将来某时刻，你必须买入该证券，用于偿还此前借入的证券
• 你必须支付卖空证券的股息和其他收益
• 借入证券需要缴纳一定手续费

例

• 当价格为100元时，卖空100股，然后在3个月之后价格为90元时，将空头头寸平仓

• 3个月期间，支付每股3元股息

• 收益多少？

• 如果当初购买100股，损失多少？

假设

• 市场参与者进行交易时没有手续费
• 市场参与者对所有交易利润都使用同一税率
• 市场参与者能够以同样的无风险利率借入和借出资金
• 当套利机会出现时，市场参与者会马上利用套利机会

符号

S0:	标的资产的当前价格
F0:	远期或期货合约当前价格
T:	远期或期货合约的期限
r:	期限T的无风险利率

套利机会？

• 假定：

  • 无股息股票的当前价格是40美元

  • 3个月远期价格为43美元

  • 3个月无风险利率为每年5%

• 是否存在套利机会？

无收益资产的远期价格

无收益资产的远期价格证明

如果不允许卖空

• 上述公式依然成立

• 因为当远期合约价格过低时，持有标的资产的投资者将出售资产，然后买入远期合约

已知现金收益资产的远期价格

已知收益率资产的远期价格

• 定义q为资产在远期期限内的平均收益率，计算形式为连续复利，远期价格为：

远期合约价值与远期价格

• 远期合约价值（f）：远期合约本身的价值

  • 在远期合约签订时，如果信息是对称的，而且合约双方对未来的预期相同，对于一份公平的合约，多空双方所选择的交割价格（K）应使远期价值等于0

  • 在远期合约签订后，由于交割价格不再变化，多空双方的远期价值将随着标的资产价格的变化而变化，如果标的资产价格高于交割价格的现值，多头的远期价值就是正的而空头的为负的，反之亦然

• 远期价格（F0）：使一个远期合约价值为0的理论交割价格

  • 远期合约签订时，交割价格等于远期价格，否则存在套利机会

  • 远期合约签订后，远期价格与交割价格（K）就不一定相等

远期合约价值

各种远期合约的价值

远期价格与期货价格的关系

• 期货价格与远期价格一样，都是理论交割价格

• 惟一的区别是远期和期货交易机制的不同

  • 远期合约在签订之后就不再变化直至到期交割清算
  • 期货合约则每日盯市结算结清浮动盈亏

• 利率为时间的已知函数时，期货价格与远期价格相等

• 当利率变化无法预测，远期价格与期货价格从理论上讲会有所不同

  • 当S与利率有正的相关性时，期货价格会稍稍高于远期价格
  • 当S与利率有负的相关性时，期货价格会稍稍低于远期价格

• 在期限小于几个月时，期货价格与远期价格的理论差异在大多数情形下可以忽略

• 虽然有很多不定因素，对于大多数情形，我们仍然可以比较合理地假定期货价格等于远期价格。在本书中，我们常常采用这一假定，用F0表示某标的资产当前的远期价格和期货价格

• 欧洲美元期货和远期合约是上面假定的一个例外

远期价格与期货价格总结

预期收益与风险

• 买入资产时，实际上购买了无风险资产和风险，因为资金冻结在该资产上，不管其风险水平如何，可以获得无风险资产利率r的回报率，此外，因为投资风险，还可以获得持有资产所带来的风险溢价

• 买入远期时，只承担了风险，因此只能获得风险溢价，因为没有资金占用，无法获得无风险收益

完全替代品

头寸1	头寸2
买入资产/卖出远期合约	买入无风险债券
买入无风险债券/买入远期合约	买入资产
买入资产/卖出无风险债券	买入远期合约
卖出资产/买入远期合约	卖出无风险债券
卖出无风险债券/卖出远期合约	卖出资产
卖出资产/买入无风险债券	卖出远期合约

股指

• 可以被视为支付一定股息的投资资产

• 因此，远期价格和即期价格的关系为

​ 其中， q是合约期限内股指所代表的组合资产的平均股息收益率

• 为满足以上公式，股指必须代表一项投资资产
• 以美元计价的日经指数期货并不代表一项投资资产

股指套利

• 指数套利同时交易股指期货和许多不同股票

• 通常借助计算机执行交易

​ 有时，套利交易是不可行的，F0 和S0之间理论上的无套利关系不成立

货币的远期和期货合约

• 外汇可以视为提供一定收益率的证券

• 该收益率为外币无风险利率

即期和远期货币价格之间的关系

消费商品：储存费用是负收入

持有成本

期货价格与预期即期价格

利率期货

天数计算惯例

• 定义：
  • 利率适用的期限
  • 用以计算累计利息的期限

美国的天数计算惯例

• 长期国债：实际天数/实际天数
• 企业债券、市政债券：30/360
• 货币市场产品：实际天数/360

债券: 8% ，实际天数/ 实际天数（期限内）

票息支付日分别为3月1日和9月1日。票息支付日之间的利息为4%。 问3月1日和4月1日之前的利息是多少？

债券: 8% ，30/360

假设每月30天，每年360天。如果票息支付日分别为3月1日和9月1日，问3月1日和4月1日之前的利息是多少？

短期国库券: 8% 实际天数/360

360天的利息率为8%。问3月1日和4月1日之前的利息是多少？

2月效应（业界事例6-1）

当分别采用以下方法时，在2013年2月28日与3月1日之间，赚取了多少天的利息：

日期计数采用：实际天数/实际天数（期限内）

日期计数采用：30/360

长期美国国债期货合约主要条款

交易单位	本金为100 000美元或其倍数的美国政府长期（30年）国债
可交割等级	从交割月的第一天起剩余期限长于（包括等于）15年且在15年内不可赎回的美国国债
现金价格	期货结算价格×交割债券的转换因子+交割债券的应计利息
转换因子	交割月第一天，面值每1美元的实际被交割债券按6%年到期收益率（半年计一次复利）计算的价值
最小变动价位	1/32 %=31.25美元
报价	100美元面值债券的价格，最小单位为1/32
合约交割月份	3月、6月、9月、12月
交易时间	芝加哥时间周一至周五7：20—14：00
最后交易时间	交割月最后一个工作日之前的第七个工作日芝加哥时间中午12：01
最后交割日	交割月的最后一个工作日

美国长期国债报价

• 美国长期国债是以美元和美元的1/32为单位报出的，所报价格是相对于面值100美元的债券
• 因此，90-05的价格意味着100 000美元面值的债券的价格为90156.25
• 上面报价被交易员称为纯净价，与现金价不同
• 交易员将现金价称为带息价格
• 现金价格 = 报价（纯净价）+ 从上一个付息日以来的累计利息

例

• 假定现在时间是2010年3月5日，债券的息票率为年率11%，到期日为2018年7月10日，报价为95-16，即95.5美元
• 国债的券息为每半年支付一次，最后一个券息支付日期为债券的到期日。最近一次付息日为1月10日，下一个付息日为7月10日。2010年，1月10日至3月5日之间共有54天，而1月10日至7月10日之间共有181天。一个面值为100美元的债券在1月10日和7月10日之间所支付的券息均为5.5美元

美国长期国债期货报价

• 长期国债期货合约的报价与长期国债本身的报价方式相同
• 每一个期货合约的规模对应于交割100 000美元的债券，因此，期货价格报价的1美元的变化引起期货合约的总价值变化为1 000美元
• 空头方拥有选择所交割债券的权利（为什么？），也拥有选择交割时间的权利
• 当交割某一特定债券时，转换因子定义了空头方的债券交割价格
• 现金价格=（期货报价×转换因子）+累计利息

最近成交价格 = 90.00

交割债券的转换因子 = 1.3800

债券累计利息 = 3.00

应收现金价格 = 1.3800×90.00 + 3.00 = 127.20

转换因子

• 长期国债期货允许合约的空头方选择交割任何期限长于（包括等于）15年且在15年内不可赎回的美国国债
• 但不同的国债有不同的息票率，价格也不同
• 如果没有其他限制，空头方将选择零息债券，因为其他因素一样情况下，其价值最低
• 转换因子就是使得期货合约空头方无论选择哪种债券都是无差异的，做法就是将每种债券转换为同一种虚构的收益率为6%的付息债券

• 假定所有期限的利率均为年利率6%（每半年复利一次），则某债券的转换因子被定义为在交割月份的第一天具有1元本金的债券的价格
• 为了便于计算，债券的期限及券息支付日的期限被取整到最近的3个月
• 如果在取整后，债券的期限为6个月的整数倍，那我们假定第1次支付利息为6个月后
• 如果在取整后，债券的期限不是6个月的整数倍（即包含另外的3个月），我们假定第1次支付利息为3个月后，支付利息数量中应剔除累计利息

最便宜交割债券

• 在交割月份的任意时刻，有许多债券可以用于长期国债期货合约的交割，这些可交割债券有各式各样的息票率及到期日

• 空头方从这些债券中可以选出最便宜交割债券用于交割

• 空头方收到的现金量为：

​ （期货报价×转换因子）+累计利息

• 买入债券费用为：

​ 债券报价+累计利息

• 因此，最便宜交割债券时使得：

​ 债券报价 -（期货报价×转换因子）

达到最小的债券

• 一旦期货的空头方决定交割债券，最便宜交割债券可以通过对每一个债券进行计算来确定

例：

• 期货空头方决定交割，可以从下表中选出最便宜交割债券，假定最近一次的期货报价为93-08，即93.25美元

债券	债券报价（美元）	转换因子
1	99.5	1.0382
2	143.5	1.5188
3	119.75	1.2615

• 交割每种债券的成本如下：
• 债券1：99.5－（93.25×1.0382）=2.69美元
• 债券2：143.5－（93.25×1.5188）=1.87美元
• 债券3：119.75－（93.25×1.2165）=2.12美元
• 因此，最便宜交割债券为债券2

确定期货价格

• 假定对于某一国债期货，已知最便宜交割债券的息票利率为12%，转换因子为1.4。假定期货交割日期为270天以后，券息的支付为每半年一次。由下图所示，上一次券息支付为60天以前，下一次券息支付为122天以后，再下一次券息支付为305天以后。利率期限结构为水平，利率为年率10%

CME场内交易的欧洲美元期货合约主要条款

交易单位	本金为1 000 000美元的3个月欧洲美元定期存款
点数	1点=0.01%=25美元
最小变动价位	即将到期合约：0.0025%=6.25美元 其他合约：0.005%=12.5美元
交易月份	40个3月季度循环月份以及不在3月循环中距离当前最近的四个序列月份
交易时间	芝加哥时间周一至周五7：20—14：00
最后交易日与结算日	3月循环月份：到期月第三个星期三往回数的第二个伦敦银行工作日伦敦时间上午11点。故此CME场内交易的实际结束交易日是到期月第三个星期三往回数的第三个伦敦银行工作日 序列月份：除了到期日通常为到期月的某个星期一之外，其他规定相同
新合约上市日	3月循环月份：前一个合约最后交易日的下一个工作日，芝加哥时间7：20 序列月份：前一个合约最后交易日的芝加哥时间早上7：20，如遇假期顺延至下一工作日
结算方式	根据到期结算日伦敦时间上午11：00英国银行家协会提供的利率概览中的3个月期LIBOR进行现金结算。最后结算价将四舍五入至小数点后4位，即0.0001%，意味着每份合约0.25美元

欧洲美元期货报价

• 欧洲美元是存放在美国之外的银行的美元
• 欧洲美元期货是基于3个月欧洲美元存款利率（与3个月LIBOR相等）的期货
• 一份合约对应借入100万美元的3个月利率
• 欧洲美元期货的报价形式是“100-R” ，R为改天实际的3个月欧洲美元不含百分号利率报价
• 欧洲美元期货合约以现金交割
• 到期日的最终结算价格为100减去3个月欧洲美元不含百分号实际存款利率

每基点25美元规则

• 合约的设计保证期货报价一个基点的变化对应于25美元的盈亏
• 当利率变化一个基点时，面值100万美元在3个月的利息变化为：
• ​ 1000000×0.0001×0.25=25美元
• 当欧洲美元报价增长一个基点时，多头交易员收益为25美元，同时，空头交易员损失25美元
• 例如，当交割价格从97.12变为97.23时，多头交易员每合约的收益为25×11=275美元，而空头交易员则损失275美元

合约价值公式

• 如果Q是欧洲美元期货合约的报价，一份合约的价格为10 000（100 - 0.25（100 – Q））

• 这与每个基点变化25美元的规则是一致的

远期利率与期货利率比较

• 欧洲美元期货合约期限最长可达10年
• 对于期限超过2年的欧洲美元期货，不能假定远期利率等于期货利率

两个原因

• 期货每日结算而远期只结算一次
• 期货在3个月期限之初结算，而远期在3个月期限结束时才结算

凸性调节

deta = 0.012时，凸性调节

期货期限（年）	凸性调节（基点）
2	3.2
4	12.2
6	27.0
8	47.5
10	73.8

延长LIBOR零息收益率曲线

基于久期的对冲比率

久期匹配

• 通过匹配资产和负债的久期来对冲利率风险
• 用于对冲零息利率曲线的微小平行移动

基于久期对冲的限制条件

• 假定收益率曲线只发生平行移动
• 假定收益率曲线变动非常微小
• 当运用国债期货对冲时，假定最便宜的可交割债券不会发生变动

缺口管理（业界事例6-3）

• 缺口管理是银行运用的一种更为复杂的对冲利率风险方法
• 该方法的步骤：
• 将零息利率曲线切为几段
• 当某段曲线利率变动而其他段利率不动时，检验风险敞口，进行对冲

互换

互换

• 互换是双方之间达成的在将来互换现金流的合约
• 在合约中，双方规定现金流的互换时间及现金流数量的计算方法
• 一个远期合约可以看做一个最简单的互换合约
• 远期合约可以等同于在今后的某单一时间现金流的互换，而互换合约通常阐明在今后的若干时间互换现金流

标准利率互换

• 一家公司同意向另一家公司在今后若干年内支付在本金面之上按事先约定的固定利率与本金产生的现金流。作为回报，前者将收入以相同本金而产生的浮动利率现金流
• 大多数利率互换合约中的浮动利率是LIBOR。LIBOR是银行将资金存入其他AA级以上的银行所得的利率。世界上所有的主要货币均提供1个月、3个月、6个月及12个月的LIBOR报价
• 国内市场，常用最佳客户利率作为浮动利率参考

例子：

• 考虑在微软公司和因特尔公司之间的利率互换合约，2012年3月5日开始，为期3年

• 假定微软同意向因特尔支付年率5%、本金1亿美元所产生的利息，作为回报，因特尔向微软支付6个月期由同样本金产生的浮动利息，双方约定每6个月互换一次现金流，5%的固定利率为每半年复利一次

微软公司的现金流（百万美元）

交换本金下微软公司的现金流

利率互换协议的用途

• 转换负债的性质
  • 从固定利率到浮动利率
  • 从浮动利率到固定利率
• 转换资产的性质
  • 从固定利率到浮动利率
  • 从浮动利率到固定利率

利用互换改变负债的性质

利用互换改变资产的性质

利用互换改变负债的性质（含金融机构）

利用互换改变资产的性质（含金融机构）

某利率互换市场做市商报价

期限(年)	买入价 (%)	卖出价 (%)	互换利率 (%)
2	6.03	6.06	6.045
3	6.21	6.24	6.225
4	6.35	6.39	6.370
5	6.47	6.51	6.490
7	6.65	6.68	6.665
10	6.83	6.87	6.850

注：利息互换每半年一次。

互换利率

• 买入卖出利率的平均值被称为互换利率
• 考虑一个新交易的互换合约，该合约中的固定利率等于当前的互换利率
• 可以合理地假定这一互换的价值为0（不然做市商为什么会选择以互换利率为中心的买卖报价呢？）
• 互换的价值等于固定利率的债券与浮动利率债券的差
• 因此， Bfix=Bfl

互换利率的实质

• LIBOR是AA级银行向其他银行借入1~12月期的资金的利率
• 互换利率等于以下两个利率的平均值
• 做市商在互换合约中收入LIBOR，并准备付出的固定利率（买入利率）
• 做市商在互换合约中付出LIBOR，并准备收入的固定利率（卖出利率）
• 5年期互换利率等于借给AA级公司10个6个月期的LIBOR短期资金的收益率

LIBOR/互换零息曲线

• 衍生产品交易员对衍生产品定价时，通常采用LIBOR利率作为无风险利率
• 问题是直接能观察到的利率期限不超过12个月
• 延长LIBOR零息曲线期限的一种方法是利用欧洲美元期货，将LIBOR零息曲线延长到2年，有时甚至长达5年
• 然后，交易员利用利率互换，将LIBOR零息曲线再进一步延长
• 所得零息曲线称其为LIBOR/互换零息曲线

确定LIBOR/互换零息利率

• 新发行的票面利率为6个月LIBOR的浮动利率债券，如果采用LIBOR/互换零息曲线来对其定价，得出的价格总等于本金价格（平价）。原因是债券的利率为LIBOR，同时贴现率也是LIBOR
• 新成交的互换交易，当固定利率等于互换利率时，Bfix=Bfl。Bfl等于本金值，因此，Bfix也等于本金值
• 这说明互换利率可以被定义为平价债券的收益率
• 计算LIBOR/互换零息曲线的方法是息票剥离法

天数计量

• 互换中通常会指定天数计量惯例
• 例如，美国的LIBOR一般是按“实际天数/360”计算，因为LIBOR是货币市场利率
• 固定利率的天数计量惯例通常为“实际天数/365”或“30/360”
• 本章中忽略天数计量惯例

确认书

• 确认书明确交易条款
• 国际互换和衍生品协会开发了标准条款，涵盖交易双方之间所有细节
• 目前政府要求大部分标准化衍生品进行集中结算

比较优势的观点

• AAA公司和BBB公司均想借入100万美元，期限为5年
• AAA公司想借入基于6月期LIBOR的浮动利率贷款
• BBB公司想借入固定利率贷款

互换设计

互换设计（含金融机构）

对比较优势观点的批评

• AAA公司和 BBB公司可借用的4.0%及5.2%固定利率是5年期利率
• 而 LIBOR−0.1% 和 LIBOR+0.6% 的浮动利率是6个月期利率
• BBB公司可借用的固定利率取决于其将来能否连续借入既定的浮动利率

利率互换的定价

• 最初利率互换价值为零
• 随后，可以根据固定利率债券和浮动利率债券差额来定价
• 将利率互换视为两个债券的差
• 或者，可借由FRA组成的交易组合来定价
• 将利率互换视为由远期利率协议（FRA）组成的交易组合

以债券形式对互换定价

• 将收入固定利率并付出浮动利率的互换，看做固定利率债券的多头与浮动利率债券的空头的组合：

​ Vswap=Bfix－Bfl

• 将收入浮动利率并付出固定利率的互换，看做浮动利率债券的多头与固定利率债券的空头的组合：

​ Vswap=Bfl－Bfix

• 固定利率债券使用通用的方法计算

• 浮动利率债券在券息支付后等于面值L

浮动利率债券定价

例

• 假定某金融机构同意在互换合约中支付6个月期的LIBOR，同时收入年利率为8%（每半年复利一次）的固定利率，本金1亿美元
• 互换合约还有1.25年的剩余期限
• 对应期限为3个月、9个月和15个月的LIBOR（连续复利）分别为10%、10.5%和11%
• 前一个付款日所对应的LIBOR为10.2%（每半年复利一次）

时间	Bfix 现金流	Bfl 现金流	贴现因子	Bfix 的现值	Bfl 的现值
0.25	4.0	105.100	0.9753	3.901	102.505
0.75	4.0		0.9243	3.697
1.25	104.0		0.8715	90.640
总计				98.238	102.505

互换的价格= 98.238 − 102.505 = −4.267

以远期合约组合形式对互换定价

• 利率互换协议中每一次现金流的交换，都是一份远期利率协议

• 假定远期利率在将来会实现，进而对FRA定价

例子：

• 假定某金融机构同意在互换合约中支付6个月期的LIBOR，同时收入年利率为8%（每半年复利一次）的固定利率，本金1亿美元
• 还有1.25年的剩余期限
• 对应期限为3个月、9个月和15个月的LIBOR（连续复利）分别为10%、10.5%和11%
• 前一个付款日所对应的LIBOR为10.2%（每半年复利一次）

时间	固定现金流	浮动现金流	净现金流	贴现因子	净现金流的现值
0.25	4.0	-5.100	-1.100	0.9753	-1.073
0.75	4.0	-5.522	-1.522	0.9243	-1.407
1.25	4.0	-6.051	-2.051	0.8715	-1.787
总计					-4.267

隔夜指数互换

• 假定某金融机构同意在互换合约中支付6个月期的LIBOR，同时收入年利率为8%（每半年复利一次）的固定利率，本金1亿美元
• 还有1.25年的剩余期限
• 对应期限为3个月、9个月和15个月的LIBOR（连续复利）分别为10%、10.5%和11%
• 前一个付款日所对应的LIBOR为10.2%（每半年复利一次）
• 也许会认为3个月期的隔夜指数互换利率会等于3个月期的LIBOR利率，但实际上，前者通常会低一些。因为银行A承担了协议中银行B的信用风险，而索取回报
• 隔夜互换利率被视为比LIBOR更接近短期无风险利率
• 3个月期LIBOR与3个月期隔夜互换利率的差被称为LIBOR-OIS溢差，可以用于检验压力市场的受压程度。该溢差一般在10个基点左右，但在2008年10月曾高达364个基点。1年后恢复到正常水平。2010年6月又上升至30个基点

货币互换

• 最简单的货币互换包括在某种货币下的利息及本金与另一种货币下的利息及本金进行互换

• 在利率互换协议中，本金通常无需交换

• 在货币互换协议中，本金通常在期限开始和结束时都需交换

• 通常货币本金互换数量的比率大致与最初的汇率等价

• IBM与BP的货币互换协议，起始日期为2011年2月1日

• IBM支付英镑的利率为5%，同时IBM由BP收入美元的利率为6%，现金流互换频率为1年1次，本金数量分别为1 800万美元和1 000万英镑

• 互换开始，IBM首先支付1 800万美元并收入1 000万英镑

• 每年IBM收入108万美元（即1 800万美元的6%），并支付50万英镑（即1 000万英镑的5%）

• 互换结束时，IBM支付1 000万英镑并收入1 800万美元

IBM的现金流（百万）

日期	美元现金流	英镑现金流
2011年2月1日	-18.00	+10.00
2012年2月1日	+1.08	-0.50
2013年2月1日	+1.08	-0.50
2014年2月1日	+1.08	-0.50
2015年2月1日	+1.08	-0.50
2016年2月1日	+19.08	-10.50

货币互换的应用

• 将一种货币的贷款转换为另一种货币的贷款

• 将一种货币的资产转换为另一种货币的资产

货币互换的比较优势

• 通用电气想借入2 000万澳元，快达航空想借入1 500万美元

• 当前的汇率为0.75（每澳元所对应的美元数量）

• 考虑税率调整后的货币互换利率

	美元	澳元
通用电气	5.0%	7.6%
快达航空	7.0%	8.0%

由比较优势而促成的货币互换

快达航空承担外汇风险

通用电气承担外汇风险

货币互换定价

• 类似于利率互换，固定息与固定息货币互换可以被分解为两个债券的差，或一组远期合约的组合

以债券形式对互换定价

• 日元利率为4%，美元利率为9%，连续复利

• 某公司进入一个货币互换，在互换中收入日元利率为5%，付出美元利率为8%，互换的支付每年一次，货币本金分别为1 000万美元和12亿日元，互换期限为3年，当前汇率是1美元兑110日元

时间	美元CF	美元PV	日元CF	日元PV
1	0.8	0.7311	60	57.65
2	0.8	0.6682	60	55.39
3	0.8	0.6107	60	53.22
3	10.0	7.6338	1 200	1 064.30
总计		9.6439		1,230.55

以远期合约组合形式对互换定价

例子：

• 日元利率为4%，美元利率为9%，连续复利
• 某金融机构进入一个货币互换，在互换中收入日元利率为5%，付出美元利率为8%，互换的支付每年一次，货币本金分别为1000万美元和12亿日元，互换期限为3年，当前汇率是1美元兑110日元

时间	美元CF	日元CF	远期汇率	日元CF的 美元价值	NCF	PV
1	-0.8	60	0.009557	0.5734	-0.2266	-0.2071
2	-0.8	60	0.010047	0.6028	-0.1972	-0.1647
3	-0.8	60	0.010562	0.6337	-0.1663	-0.1269
3	-10.0	1200	0.010562	12.6746	+2.6746	2.0417
总计						1.5430

互换与远期

• 互换协议可以视为两份远期协议的组合
• 尽管互换协议的价格在最初通常为零，但每份基础的远期协议的价格并不为零

信用风险

• 互换协议的初始价值为零
• 一段时间后，其价值可能为正也可能为负
• 只有当价值为正时，投资者才面临信用风险敞口
• 一些互换协议比其他的协议更可能导致信用风险敞口

其他类型的互换

• 标准利率互换的变形：浮动利率与浮动利率互换、摊还互换、本金逐步增加的互换、固定期限互换……
• 其他货币互换：交叉货币利率互换、浮动息与浮动息互换
• 股权互换
• 期权互换
• 商品互换
• 波动率互换

期权市场机制

期权类型

• 看涨期权
• 看跌期权
• 欧式期权
• 美式期权

期权头寸

• 看涨期权多头
• 看跌期权多头
• 看涨期权空头
• 看跌期权空头

看涨期权多头

买入一只股票的欧式看涨期权收益曲线（期权价格=5美元，执行价格=100美元）

看涨期权空头

卖出一只股票的欧式看涨期权收益曲线（期权价格=5美元，执行价格=100美元）

看跌期权多头

买入一只股票的欧式看跌期权收益曲线（期权价格=7美元，执行价格=70美元）

看跌期权空头

卖出一只股票的欧式看跌期权收益曲线（期权价格=7美元，执行价格=70美元）

欧式期权的收益

期权的标的资产

• 股票
• 货币
• 股指
• 期货

期权特征

• 到期日
• 执行价格
• 欧式或美式
• 看涨或看跌

期权类与期权系列

• 对于任何资产，在任何给定的时刻市场上都可能有许多不同的期权在交易
• 所有类型相同的期权（看涨或看跌）都可以归为一个期权类，如IBM的看涨期权为一类， IBM的看跌期权为另一类
• 一个期权系列是由具有相同到期日及执行价格的某个给定类型的所有期权，即某期权系列是指市场交易中某个特定的合约，如10月份70 IBM看涨期权是一个期权系列

实值期权、平值期权与虚值期权

• 对于看涨期权：
  • 实值期权：S＞K
  • 平值期权：S＝K
  • 虚值期权：S＜K
• 对于看跌期权：
  • 实值期权：S＜K
  • 平值期权：S＝K
  • 虚值期权：S＞K
• 显然，期权只有在实值期权时才会被行使

内涵价值与时间价值

• 期权的内涵价值定义为0与期权被立即行使的价值的最大值
  • 看涨期权的内涵价值为：max（S－K，0）
  • 看跌期权的内涵价值为：max（K－S，0）
• 一个实值美式期权的价值至少等于其内涵价值，因为可以马上行使期权来实现其内涵价值
• 通常一个实值美式期权的持有者最好的做法是等待而不是立即执行期权，这种期权称为具有时间价值
• 期权的整体价值等于内涵价值与时间价值的和

股息及股票分股

• 当公司发放现金股息时，期权不做任何调整

• 当存在n对m股票分股时

  • 交割价格减至：（m/n）K
  • 期权数量增至：（n/m）N
  • 考虑可以让持有者以每股30美元的价格买入100只股票的看涨期权，假定公司进行了2对1股票分股，期权合约的条款将变为持有者以每股15美元的价格买入200只股票

• 股票期权对股票股息进行调整，方式类似于股票分股

  • 例如20%的股票股息等价于6对5股票分股
  • 考虑可以让持有者以每股15美元的价格出售100只股票的看跌期权，假定公司发放25%的股票股息，这等价于5对4股票分股，期权合约的条款将变为持有者以每股12美元的价格买入125只股票

做市商

• 大多数交易所都采用做市商制度来促成交易
• 一个期权的做市商是一个当需要时会报出买入价和卖出价的人
• 在报价时，做市商并不知道询问价格的一方是要买入还是卖出期权
• 卖出价一定要高于买入价，差额就是买卖差价
• 做市商的存在，可以确保买买指令在没有延迟的情况下在某一价格立即执行

保证金

• 裸露期权指期权不与标的资产并用
• 在芝加哥期权交易所，卖出裸露看涨期权的初始保证金是以下两个数量中的最大值：
  • 变卖期权所得金额的100%，加上20%的标的股票价值，减去（如果存在）期权的虚值数量
  • 变卖期权所得金额的100%，加上10%的标的股票价值
• 卖出裸露看跌期权的初始保证金是以下两个数量中的最大值：
  • 变卖期权所得金额的100%，加上20%的标的股票价值，减去（如果存在）期权的虚值数量
  • 变卖期权所得金额的100%，加上10%的执行价格
• 由于包含广泛股票的股指比单个股票的波动率要小，因此在计算中，用15%代替20%

认股权证

• 认股权证是由金融机构和非金融机构发行的期权
• 一家金融机构可以发行认股权证，并同时创立关于这些权证的市场，为了行使权证，投资者需要同金融机构取得联系
• 非金融机构一般在债券发行时应用认股权证

雇员股票期权

• 雇员股票期权是公司发给高管的看涨期权，是一种报酬形式
• 发行时，期权通常为平值
• 当期权被行使时，公司发行股票，将其按执行价格出售给期权持有者
• 期权被视作费用，计入利润表

可转换债券

• 可转换债券是公司发行并在将来以预定比例转换为股票的债券
• 可转换债券是含有对公司股票看涨期权的债券

股票期权的性质

股票期权的性质

• 在严格地对衍生产品建立模型之前，我们应该问这样的基本问题：有哪些性质是无论我们选择什么模型都会始终保持不变的呢？
• 如果能找出这些性质，我们就能以此为指导去寻找有意义的衍生产品模型。通过各种不同的理论和工具，可以建立起无数的模型，但我们这章讨论的性质，任何一个模型都必须满足
• 因此，这些性质很重要，我们用以获得这些性质的方法也非常基本和重要
• 我们将讨论影响股票期权价格的因素，将采用一些不同形式的套利方式来探讨欧式期权价格、美式期权价格和标的资产价格之间的关系式，其中最重要的关系式为欧式看涨期权和看跌期权价格之间的看跌－看涨平价关系式
• 我们还将讨论美式期权是否应该提前行使，将证明提前行使无股息股票上的美式看涨期权肯定不会是最佳选择，但是在一定条件下，提前行使这种股票上的看跌期权则是最佳选择

符号

变量对期权价格的影响

变量	c	p	C	P
S_0	+	-	+	-
K	-	+	-	+
T	？	？	+	+
s	+	+	+	+
r	+	-	+	-
D	-	+	-	+

假设

• 没有交易费用
• 对于所有交易盈利（减去交易损失）的税率相同
• 投资者可以按无风险利率借入和借出资金
• 市场上不存在套利机会

美式期权和欧式期权

• 美式期权的价值至少等于欧式期权：C≥c，P≥p

• 证明：如果C＜c，那么卖出欧式看涨期权，买入美式看涨期权，c－C将是你的套利收入。为保持这个数值，美式期权在到期日之前不行权，到期日时，或者两个期权毫无价值，或者来自欧式期权的损失可利用美式期权弥补。看跌期权同理

期权价格的上限

无股息股票欧式看涨期权的下限

• 考虑两个交易组合：
  • 组合A：一个欧式看涨期权加在T时刻提供收入K的零息债券
  • 组合B：一股股票

无股息股票欧式看跌期权的下限

• 考虑两个交易组合：
  • 组合C：一个欧式看跌期权加一股股票
  • 组合D：在T时刻提供收入K的零息债券

看跌-看涨平价关系式

• 考虑以下两个组合：
  • 组合A：一个欧式看涨期权加在T时刻提供收入K的零息债券
  • 组合C：一个欧式看跌期权加一股股票

看跌-看涨平价关系式与资本结

提前行使期权

• 通常，美式期权有可能提前行使，即C≥c，P≥p
• 无股息看涨期权是一个例外，它永远不应被提前行使，即C＝c

证明

不提前行使期权的原因

• 第一个原因同期权所提供的保险有关：当拥有期权而不是股票时，持有者拥有价格保险。一旦期权被行使后，执行价格同股票互换，保险也因此消失
• 另一个原因是货币的时间价值有关：对期权持有者而言，支付执行价格越迟越好

欧式与美式看涨期权价格的上下限

看跌期权是否应提前行使

• 提前行使无股息股票的看跌期权有时可能是最优的

• 考虑一个极端情形，假定执行价格为10美元，股票价格几乎为0，则立即行使期权，投资者可马上获取近10美元；若选择等待，行使期权的盈利可能低于10美元，但不可能高于10美元，因为股票的价值不可能为负值，而且现在收到10美元要比将来收到10美元更好，所以期权应该被马上执行

• 当同时持有股票和看跌期权时，看跌期权可以为期权持有者在股票价格下跌到一定水平时提供保险。但与看涨期权不同的是，放弃这一保险而提前行使期权能立即实现执行价格可能为更优

• 一般来讲，当S_0减小，r增大，deta减小时，提前行使期权可能会更有利

欧式和美式看跌期权价格的上下限

美式期权价格关系式

虽然看涨看跌平价关系式只对欧式期权成立，但我们也可以得出没有股息时，美式期权服从的关系式

股息对于期权的影响

• 之前我们的讨论都是假设标的股票不支付任何股息
• 接下来我们讨论股息对期权价格的影响
  • 下限
  • 提前行使
  • 看跌-看涨平价关系式

下限

提前行使

• 当股息在预计之中时，将不再有美式看涨期权不会被提前行使的结论
• 有时在除息日之前，行使美式看涨期权为最优，在其它时刻行使不会是最优策略
• 我们在后面章节将进一步讨论

看跌－看涨平价关系式

美式期权价格关系式

期权交易策略

可供选择的策略

• 期权与零息债券（保本债券）
• 期权与标的资产
• 同一标的资产上的两个或更多相同类型的期权（差价）
• 同一标的资产上的两个或更多不同类型的期权（组合）

保本债券

• 允许投资者对风险资产建立头寸，而不用冒本金风险

• 例: 考虑以下1000美元的投资机会

  • 3年期零息债券，本金1000美元
  • 标的物为股票组合的3年期欧式平值看涨期权

• 可行性依赖于

  • 股息水平
  • 利率水平
  • 组合的波动率

• 标准化产品的变异

  • 提高期权的执行价格
  • 投资者的收益封顶
  • 投资者收益依赖于组合的平均价格（而不是最后价格）
  • 指明一个将期权敲出的临界水平

期权与标的资产的组合

差价

• 差价是指将具有相同类型的两个或多个期权（由两个或更多个看涨期权，或两个或更多个看跌期权）组合在一起的交易策略
  • 牛市差价
  • 熊市差价

由看涨期权构造的牛市差价

例子

• 某投资人以3美元价格买入一个执行价格为30美元的看涨期权并同时以1美元的价格卖出一个执行价格为35美元的看涨期权
• 这一牛市差价策略的成本为3－1=2美元

由看跌期权构造的牛市差价

由看跌期权构造的熊市差价

由看涨期权构造的熊市差价

盒式差价

• 盒式差价是看涨期权组成的牛市差价和看跌期权组成的熊市差价的组合
• 欧式期权的盒式差价为执行价格之差的现值
• 美式期权的盒式差价不一定为执行价格之差的现值

由看涨期权构造的蝶式差价

由看跌期权构造的蝶式差价

日历差价

• 日历差价构成期权具有相同的执行价格却具有不同的到期日
• 日历差价可以由看涨期权空头和同样执行价格、较长期限看涨期权的多头来构造
• 期权的期限越长，期权的价格也会更加昂贵，因此日历差价需要一定的初始投资
• 通常价格日历差价的盈利实现在较短期限期权的到期日，而较长期限期权会被出售

由看涨期权构造的日历差价

由看跌期权构造的日历差价

日历差价的类型

• 中性日历差价：执行价格接近标的资产当前价格
• 牛市日历差价：较高的执行价格
• 熊市日历差价：较低的执行价格

组合

• 组合是一种包括对于同一标的资产上看涨期权与看跌期权的交易策略
  • 跨式组合
  • 序列组合带式组合
  • 异价跨式组合

跨式组合

序列组合与带式组合

异价跨式组合

二叉树

二叉树

• 期权定价领域中一个有用并很常见的工具是二叉树方法
• 二叉树中，股票价格被假定为服从随机漫步，在树形的每一步，股票价格具有一定的概率向上移动一定的比率，也具有一定的概率会向下移动一定的比率
• 在极限状态下，即步长足够小时，二叉树中的股票价格趋于对数正态分布，而对数正态分布正是布莱克-斯科尔斯模型关于股票价格的假设

意义：

• 解释了用来对期权定价的无套利假设的特点
• 介绍了常常用于美式期权和其他衍生产品定价所用的二叉树数值方法
• 引进了非常重要的风险中性定价原理

单步二叉树模型

• 股票当前价格为20美元

• 3个月后，股票价格会变为22美元或18美元

看涨期权

• 3个月看涨期权的执行价格为21美元

构建无风险组合

组合价值

期权定价

• 无风险组合的现值为：

​ 4.367美元

• 记期权的价格为f，则组合现值为：

​ 20×0.25－f = 4.367

• 因此，期权价值：

​ f = 0.633美元

推广

• 假定股票的价格为S0 ，期权的价格为f ，期权的期限为T，u>1，d<1

股票期望收益的无关性

• 期权定价公式中没有股票价格上涨或下跌的概率
• 造成这一现象的关键原因是，我们并不是在一个绝对的条件下对期权进行定价的，我们是根据股票的价格来计算期权的价格，未来股票价格上涨与下跌的概率已经包括在它的价格之中

p 作为概率

• 在上述推导中，我们不需要对股票价格上涨与下跌的概率作出任何假设，所需要的只是无套利假设
• 但是，我们仍然可以很自然地可以把 p 和（1 – p）理解成股价上升和下降的概率
• pfu + (1 – p)fd 是期权收益的期望，按照这种理解，期权今天的价值 f = [ pfu + (1 – p)fd ]e–rT 等于收益期望的贴现值

风险中性定价

• 在一个风险中性世界中，投资者对风险都持中性的态度。在这样的世界里，投资者对风险不要求任何补偿，从而所有证券的期望收益率均等于无风险收益率。因此，当假设股票价格上涨的概率为p时，就是在假设世界为风险中性世界
• 以上结果是期权定价领域中非常重要的风险中性定价原理的应用。这个原理说明，在期权定价时我们可以放心地假设世界为风险中性，由此得出的期权价格不仅在风险中性世界正确，在其他世界也是正确的

再论单步二叉树

用风险中性原理对期权定价

现实世界与风险中性世界

• 应该强调p为风险中性世界里股票价格上涨的概率，一般来讲，这一概率与现实世界里股票价格上涨的概率是不同的

• 在前例中，p=0.6523。当价格上涨的概率为0.6523时，股票及期权的期望收益率为12%。假定现实世界里股票的期望收益率为16%，p*表示在现实世界里股票价格上涨的概率

• 由22p+18(1－p)=20e 0.16×3/12，则p*=0.7041

• 此时在现实世界里，期权的期望收益为

• ​ p×1＋(1－p)×0=0.7041

• 不幸的是，我们并不知道用什么样的贴现率对以上的期望值进行贴现，期权头寸比股票头寸的风险更大，因此对于期权期望收益的贴现率比16%更高

• 在不知道期权价格的情况下，我们也不知道贴现率的确切值

• 在风险中性世界里，所有资产的期望收益率和期权的期望收益的贴现率均为无风险利率，因此采用风险中性定价极为方便

两步二叉树

• 假定树中每一步的步长均为3个月，期权期限为6个月，无风险利率r =12%，执行价格K=21美元

看涨期权定价

推广

看跌期权

美式期权

Delta

• Delta 是期权价格变化同股票价格变化之间的比率

• 它是当我们卖出一份期权时，为了构造无风险组合而需要持有的标的股票数量

• 两步二叉树的例子说明， Delta 的值随着时间变化。因此，采取期权或股票进行无风险对冲时，需要不断调整所持股票的数量

构造二叉树

• 在实际中，为了描述股票价格变化而构造二叉树时，会通过选择u和d来使树形与股票价格的波动率相吻合
• 构造二叉树的目的，是为了以一种在经济上合理的方法刻画未来股票价格的不确定性

不确定性

• 对于股票收益率不确定性的一个常见测度为连续复利的股票收益率的年标准差，记作s
• 这个标准差测度了对于股票收益接近期望收益的确信度，s 较大的股票，收益偏离期望收益的可能性也较大
• 通过对与远期价格相关的股票价格上下变动的建模，将不确定性加入二叉树中，其中，股票价格偏离远期价格的程度与标准差有关
• 后面我们会看到，如果年标准差为，T内的标准差为

Cox-Ross-Rubinstein树方法

远期树方法

如果未来股票价格不存在不确定性，则下一期的股票价格必定等于远期价格

二叉树公式

其他标的资产的期权

• 对于以股指、货币和期货为标的资产的期权，构造二叉树的基本步骤是一样的，除了概率p 的计算方法有些不同

维纳过程和伊藤引理

股票价格的随机游走

• 我们经常说股票价格服从随机游走

• 什么是随机游走？

• 如何在股票价格上应用随机游走模型？

• 想象重复地抛掷一枚硬币。

• 令随机变量Y表示抛掷的结果，如果硬币正面向上，Y＝1，如果硬币反面向上，Y＝－1。正面向上的概率是50%

• N次抛掷后，第 i 次的抛掷记为Yi，累计的总数Zn为

• 另一种Zn过程的表示方法是Zn的变化量的表达式：

  

• 可以把这个公式直接写为：

• Samuelson（1965）明确地阐述了资产价格应该遵循随机游走的观点
• 在有效市场中，资产价格应该反映所有可获得的信息根据定义，新的信息都是出人意料的。在回应新信息时，价格就像抛掷硬币那样等可能地向上或向下运动
• 一段时间后的价格等于最初的价格加上由于信息产生向上和向下的累积运动

利用随机游走为股票价格建模

• 股票价格随机地向上或向下运动的想法是很有意义的
• 然而，之前描述的随机游走并不是一个令人满意的模型。这个模型至少存在三个问题
  • 如果意外地累积足够多的向下运动，股票价格将变成负的
  • 变动金额的大小将依赖于硬币抛掷得有多快，以及股票价格的水平
  • 平均来说，股票应该有一个正的收益

股票价格的假设

• 通常假设股票价格服从以下过程（几何布朗运动）

随机过程

• 随机过程：某一变量以某种不确定的方式随时间变化
  • 离散时间，离散变量
  • 离散时间，连续变量
  • 连续时间，离散变量
  • 连续时间，连续变量

连续变量、连续时间的随机过程

• 我们将建立关于股票价格的连续变量、连续时间的随机过程
• 实际中观察到的股票价格并不服从连续变量、连续时间过程，股票价格的变动为离散形式，而且只有在开盘时才能看到股票价格的变化
• 即使如此，在大多数情况下，连续时间过程仍是一个有用的模型
• 我们还将导出伊藤引理，这一定理是衍生产品定价的核心

马尔科夫过程

• 在马尔科夫过程中，标的变量的未来变动只与当前值有关，而与从过去到现在的演变方式无关
• 我们假设股票价格服从马尔科夫过程
• 股票价格的马尔科夫过程与弱式有效市场一致

例子：

• 变量当前值为10
• 变量服从马尔科夫过程
• 过程是静止的（即参数不随时间变化）
• 一年之后，变量的分布为φ（0，1）

提问：

• 变量在第2年底的概率分布是什么？
• ½ 年?
• ¼ 年?
• Dt 年?
• 推往极限，我们定义了一个连续随机过程

方差&标准差

• 在马尔科夫过程中，相邻时间区间的变化是独立的
• 这意味着方差是可加的
• 标准差不可加
• 上例中，我们可以认为方差每年为1
• 严格地讲，每年的标准差为1的说法是错误的，而是每根号年

维纳过程：布朗运动

• 维纳过程是一个随机过程，它是发生在连续时间上的随机游走
• 维纳过程是构造标准衍生产品定价模型的基础
• 一个随机游走可以通过抛掷硬币产生，为了产生维纳过程，要无限快地抛掷硬币并每一步变化都极其微小
• 维纳过程（布朗运动）是马尔科夫过程中变化的期望值为0、方差为1的特殊形式

中心极限定理

• 为什么正态分布出现在期权定价中（并且在其他情况下也经常出现）
• 因为当随机变量增加时，正态分布会自动出现
• 中心极限定理是研究独立随机变量和的极限分布为正态分布的问题

维纳过程

广义维纳过程：算术布朗运动

广义维纳过程的价格缺点

• 没有什么能够使得 x 不是负数
• 股票价格变化的均值和方差与股票价格水平无关

伊藤过程

几何布朗运动

蒙特卡洛模拟

• 假定股票的预期收益率为每年15%，收益的标准差为30%，股票价格在1星期内的变化形式为:

​ △S=0.00288S＋0.0416Sεe

• 不断地从中φ（0,1）中抽取随机数，代入上式计算，模拟股票价格在未来5星期的变化路径

伊藤引理

• 如果已知变量x服从的随机过程，则由伊藤引理可知变量x和t的函数G (x, t )服从的随机过程
• 由于衍生产品的价格是基础资产的价格和时间的函数，伊藤引理在衍生品分析中发挥着重要作用

泰勒级数展开式

• G（x，t）的泰勒级数展开式：

忽略Dt的高阶项

求极限的伊藤引理

伊藤引理应用于股票价格过程

伊藤引理应用于远期合约

对数正态分布的性质

布莱克：斯科尔斯-默顿模型

股票价格假设

• 假设无股息股票在一短时间Dt 内的收益率是正态分布：

对数正态分布

连续复利收益率

• 由股票价格服从对数正态分布的性质出发，可以得出0~T之间连续复利收益率的概率分布

• 0~T之间以连续复利收益率记为x，则：

期望收益率

共同基金的收益率

波动率

• 股票价格的波动率在这里被定义为按连续复利计算的股票在1年内所提供收益率的标准差

• 较短时间Dt内的收益率的标准差近似等于

• 如果股价为 50美元，波动率每年25%，那么一天之内价格变动的标准差是多少？

从历史数据中估计波动率

交易日天数与日历天数

例：

• 假定当前为4月1日，期权到期日为4月30日，因此剩余交易天数为30个日历日或22个交易日

• 剩余到期时间可以表示为22/252 = 0.0873年

BSM微分方程的概念

• 期权价格和股票价格均受同一种不确定性的影响

• 我们可以构建由股票和期权组成的投资组合，以消除不确定性

• 该组合是无风险的，且赚取无风险利率

• 这将推导出布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程

• 股票价格及期权价格都只受到同一种不确定性的影响，其区别只是在于随机因素dz 前面的系数不同，也就是对随机因素变化的反应程度不同

假设

• 股票价格服从如下过程： dS=mSdt+sSdz ，其中m和s为常数
• 可以卖空证券，并且可以完全使用所得收入
• 无交易费用和税收，所有证券均可无限分割
• 在期权期限内，股票不支付股息
• 不存在无风险套利机会
• 证券交易为连续进行
• 短期无风险利率r 为常数，并对所有期限都相同

BSM微分方程的推导

例：

• 价格依赖于股票价格的任何证券都满足微分方程
• 如远期合约

风险中性定价

• 变量 m 没有出现在方程中：

• 方程不涉及任何投资者对风险选择影响的变量，微分方程与风险选择无关

• 如果风险选择在微分方程中不出现，则它不会影响微分方程的解，因此可以选择任何一组风险，尤其可以选择假设所有投资者都是风险中性的

• 可以用风险中性定价原理对其定价，过程包括三个方面：

  • 假定标的资产的期望收益率为无风险收益率
  • 计算衍生产品的期望收益
  • 用无风险利率对期望收益进行贴现

• 风险中性定价仅仅是得到微分方程的一个工具，我们得到的解不仅当投资者是风险中性时成立，而且在所有世界里也都是成立的

应用于股票远期合约

BSM定价公式

对于一个无股息股票上的欧式看涨期权与看跌期权，它们在0时刻的定价公式为：

正态分布函数

• N（x）指服从标准正态分布φ(0,1)*的随机变量小于 *x 的概率

BSM定价公式的性质

证明

隐含波动率

• 期权的隐含波动率是期权的市场价格所隐含的波动率
• 价格和隐含波动率之间存在一对一的关系
• 交易员和经纪人通常报出的是隐含波动率而不是期权价格

VIX 波动率指数

权证与雇员股票期权

• 当普通看涨期权被行权时，交割的股票必须是从公开市场上购买的
• 当权证或雇员股票期权被行使时，公司发行新股票
• 如果市场认为权证发行没有带来任何价值，股价会在发行公布时下降
• 由于股票价格已经反映了权证与雇员股票的稀释效应，不影响定价公式（见业界事例14-3）

稀释效应

• 权证发行后，定价时不必考虑稀释效应
• 在权证发行前，我们可以计算出每份权证的成本，即 N/(N+M) 乘以普通期权的的价格，其中N是已发行在外的股票数， M是行权后将要新发行的股票数

股息

• 有股息股票的欧式期权，利用BSM公式定价时需要从股价中减去股息的现值
• 只有当除息日在期权有效期内的股息可以包含在内
• 股息被默认为从期望股价中扣掉

美式看涨期权

布莱克近似法

• 布莱克建议了一种将美式看涨期权可能被提前行使的特殊考虑在内的近似方法
• 令美式期权价格等于两个欧式期权的最大者
• T 时刻到期的欧式期权价格
• tn 时刻到期的欧式期权价格

波动率微笑

波动率的估计

• 使用历史波动率来估计未来波动率

• 使用隐含波动率来估计未来波动率

隐含波动率

• 期权价格在市场上都观察得到，因此，实务界就将期权价格代入BSM公式，反求出波动率
• 求出来的波动率被称为隐含波动率
• 若BSM公式是正确的，那么求出的隐含波动率应该是唯一的，不应随着到期日的不同或者执行价格的不同而变化，这是因为波动率描述资产的波动变化，与其上的衍生产品无关
• 但实际上却不是这样

示例

• 某个资产现价100元

• 不同期限和不同执行价格看涨期权的价格由右表列出

隐含波动率

波动率曲面

标准普尔500指数隐含波动率

为什么波动率微笑对欧式看涨期权与看跌期权是一样的？

外汇期权波动率微笑

外汇期权隐含概率分布

外汇期权隐含概率分布的性质

• 隐含分布比对数正态分布更具有肥尾特征

• 隐含分布比对数正态分布峰值更高

外汇期权波动率微笑存在的原因

• 汇率波动率是随机的而非常数

• 汇率波动率常常具有跳跃性而非连续变化

隐含概率分布的确定

几何解释

汇率变化的历史分析

	历史数据(%)	正态分布(%)
>1 SD	25.04	31.73
>2SD	5.27	4.55
>3SD	1.34	0.27
>4SD	0.29	0.01
>5SD	0.08	0.00
>6SD	0.03	0.00

股票期权波动率微笑

股权期权隐含概率分布

股票期权隐含分布的性质

• 隐含分布比对数正态分布的左尾更肥
• 隐含分布比对数正态分布的右尾更瘦

股票期权波动率微笑存在的原因

• 杠杆效应
• 恐惧症

其他的波动率微笑

• 当存在以下情形时，波动率微笑的情形如何？
  • 真实分布左尾偏瘦而右尾更肥
  • 真实分布的左尾和右尾都偏瘦

描述波动率微笑的方法

波动率期限结构

• 除了计算波动率微笑，交易员还计算波动率期限结构
• 波动率期限结构揭示了随着期权期限的变化，隐含波动率的变动情况
• 当短期的历史波动率较高时，波动率期限结构向下倾斜，因为这时波动率预期会降低；当波动率较低时，波动率期限结构向上倾斜，因为这时波动率预期会升高

波动率曲面

• 作为执行价格和到期期限的函数，隐含波动率又被称作波动率曲面

当预期价格大跳跃时的波动率微笑

• 平值期权的隐含波动率比虚值期权或实值期权更高（因此波动率微笑呈皱眉状）

雇员股票期权

雇员股票期权的本质

• 是公司授予其雇员在本公司股票上的看涨期权；
• 执行价格一般设成股票在授予日的价格，因此在最初时期，期权是平价的；
• 雇员股票期权常常延续10-15年之久。

雇员股票期权的特点

• 在等待期（vesting period）内期权是不能被行使的；
• 在等待期内，当雇员离开公司时，期权作废；
• 在等待期之后，当雇员离开公司时，虚值期权将会作废，而且必须马上行使已经生效（vested）的实值期权；
• 雇员不允许出售这些期权；
• 当雇员行使期权时，公司将会发行新股，并按执行价格卖给雇员。

行使决策

• 雇员想把已经生效的期权变成现金，他们必须行使期权，然后将标的股票卖掉
• 即使是无股息股票上的看涨期权，雇员期权的行使也常常比与其类似的常规看涨期权要早。

雇员股票期权的缺点

• 高管从良好业绩中获得的收益远远大于对糟糕业绩的惩罚
• 当股票市场整体上涨时，即使他们的公司表现相对较差，高管也能够得到较好的报酬
• 管理人股票期权往往会使高管只谋取短期利益，而牺牲长期发展。
• 高管可能会选择在最有利的时间公布好消息，或者采取其他措施来最大化期权的价值。

会计问题

• 在1995年之前，公司发布股票期权时记入利润表中的费用为期权的内在价值
• 1995年之后，发行期权的公司可以选择按公平价值将期权在利润表中作为费用。如果公平价值没有被记在利润表中，那么必须在公司的账目上以脚注的形式加以注明
• 从2005年开始，FASB（财务会计准则委员会）和IASB（国际会计准则委员会）要求将雇员股票期权作为发行时的费用

传统平价看涨期权

• 平价看涨期权的吸引力在于它们在利润表上是不会产生费用的，因为它们在行权日的内在价值为零
• 其他方案可能会产生一些费用
• 由于会计规则已经改变，一些公司正在考虑其他类型的方案

非传统方案

• 将期权执行价格与股票指数联系起来，只有当公司股票比指数表现更好时，期权才会变成实值
• 按预先指定的方式提高执行价格
• 只有在达到规定的利润目标时，期权才能生效

定价

• 通常的方法是将期权有效期T设成预期期限（expected life）后，使用布莱克-斯科尔斯-默顿公式

• 以这种方式应用布莱克-斯科尔斯-默顿公式是没有理论依据的，但在绝大多数情况下给出的定价是合理的。

例

其他方法

• 根据股票价格和剩余期限的函数来估计行使期权的概率，建立二叉树并进行倒推计算。
  • 一种简单的模型假设：一旦期权生效并且股票价格与执行价格的比率高出某个水平，雇员将立即行使期权。
• 拍卖那些能反映期权偿付的证券，确定其市场价格
  • 内达华州立银行在2007使用了这个方法

稀释效应

• 当雇员行使期权时，公司需要发行新股，并按照低于目前市场的价格将其卖给雇员，这将在某种程度上对公司现有股票产生稀释效应
• 然而，当市场上第一次知道消息时，股票价格就已被稀释
• 稀释效应并不发生在期权行使的时刻

倒填日期丑闻

• 倒填日期在美国似乎是一种普遍（也是非法）的做法。
• 假设一家公司决定在4月30日当股票价格为50美元时向其雇员授予平值期权，如果在4月3日股票价格为42美元，诱人的做法是将期权当成是4月3日授予的平值期权
• 为什么要这么做呢？

股指期权与货币期权

股指期权

• 美国最常见的股指标的：
• 标普100上的美式与欧式期权(OEX和XEO)
• 标普500上的欧式期权 (SPX)
• 道琼斯工业平均指数上的欧式期权(DJX)
• 纳斯达克100上的欧式期权(NDX)
• 每份股指期权合约的标的资产通常为指数值的100倍；股指期权是以现金形式结算的

例子

• 考虑一个看涨的股指期权，执行价格为880
• 股指在900时，行使一份期权
• 期权的收益是多少？

投资组合保险

例1

• 组合的beta系数为1.0
• 目前价值$500,000
• 股指目前为1000
• 为了对投资组合价值低于45万美元的情况提供保险，需要进行哪些交易?

例2

• 组合的beta系数为2.0
• 目前价值$500,000，股指目前为1000
• 无风险利率为12%
• 投资组合与股指的股息收益率均为4%
• 应该买多少看跌期权?

计算股指和投资组合的关系

• 如果股指上升到1040，它在三个月会提供40/1000或者4%的收益率
• 股指的整体收益（包括股息）= 5%
• 相对于无风险利率的超额收益= 2%
• 投资组合的超额收益= 4%
• 投资组合增值的期望= 4+3−1=6%
• 投资组合价值的期望=$530,000

确定执行价格

执行价格为960的期权能为投资组合价值下降10%提供保护。

支付已知股息率的欧式期权

定价公式

欧式股指期权的定价

隐含的远期价格和股息收益率

二叉树模型

隐含的远期价格和股息收益率

货币期权

• 货币期权在NASDAQ OMX上交易
• 同时也存在着一个非常活跃的场外市场
• 公司经常使用货币期权来为外汇风险暴露提供保险

范围远期合约

外币利率

欧式货币期权定价

定价公式：

期货期权与布莱克模型

期货上的期权

• 期货期权是按标的期货到期月（而不是按期权到期月）来识别的；
• 大多数期货期权为美式期权，到期日通常是标的期货最早可以交付日期的前几天

看涨期货期权

• 当看涨期货期权被行使时：
• 期货持有者签订一个期货合约的多头，
• 加上数量等于最新期货结算价格减去执行价格的现金

看跌期货期权

• 当看跌期货期权被行使时：
• 期权持有者签订一个期货合约的空头
• 加上数量等于执行价格减去最新期货结算价格的现金

例

• 某投资者持有一份9月的黄铜期货的看涨期权合约，期货执行价格为每磅320美分。一份合约的规模是25000磅黄铜。假定当前9月交割的黄铜期货价格为331美分，最近一个结算日黄铜期货的结算价格为330美分。如果行使期权，交易者：
• 承约了一个在9月买入25000磅黄铜期货合约的多头
• 收入现金25000*10美分=2500美元

例

• 某投资者持有一份12月玉米期货的看跌期权合约，执行价格为每蒲式耳600美分。每份合约的规模为5000蒲式耳玉米。假定当前12月交割的玉米期货价格为580美分，在最近一个结算日，玉米期货的结算价格为579美分。如果行使期权，交易者：
• 承约了一个在12月卖出5000蒲式耳玉米期货合约的空头
• $1050的现金

收入

• 如果投资者立即将期货平仓：
• 多头的收入 = F– K
• 空头的收入 = K – F
• 其中 F 为行使期权时的期货价格

利率期货期权

• 长期国债期货合约：报价以标的长期国债面值的百分比给出，价格被近似到面值1%的1/64
• 欧洲美元期货合约：一个基点代表25美元。
• 如果你认为利率会增长，应该买入看涨期权还是看跌期权？

期货期权相对于即期期权的潜在优势

• 期货合约要比标的资产的流动性好，容易交易
• 对期权的行使并不一定会触发对标的资产的交割
• 期货与期货期权通常在同一个交易所交易
• 期货期权的交易费用更低

欧式期货期权

• 当期货与期权同时到期时，欧式即期期权与欧式期货期权等价
• 研究欧式期货期权的结果可以用来对欧式即期期权定价

看跌-看涨平价关系式

其他关系式

期货价格的增长率

• 期货合约不需要初始投资；
• 在风险中性世界里，收益的期望为0；
• 因此，期货价格增长率的期望也为零；
• 因此，期货价格可以被当成支付股息收益率r 的股票价格。

欧式期货期权定价

布莱克模型

布莱克模型在实践中的应用

• 布莱克模型在经常被用于欧式即期期权的定价
• 这避免了对于标的资产收益的估计

用布莱克模型来代替布莱克-斯科尔斯-莫顿模型

二叉树的例子

构造无风险组合

交易组合的定价（ 无风险利率为6% ）

期权的定价

• 交易组合为：

  0.8 份期货的多头

​ 1 份期权的空头

价值−1.592

• 期货的价值为零
• 因此期权的价值必为1.592

二叉树例子的推广

考虑一个在T时刻到期的期权，其价格与期货价格有关。

期权期货价格与即期期权价格

• 如果期货价格比现货价格高（正常市场），那么美式看涨期货期权的价格高于相应的美式即期看涨期权的价格，美式看跌期货期权的价格低于相应的美式即期看跌期权的价格；
• 如果期货价格比现货价格低（反向市场），那么结论相反。

期货式期权

总结：平价关系式

基本数值方法

衍生品定价的方法

• 树形结构
• 蒙特卡罗模拟
• 有限差分法

二叉树

• 二叉树经常用来近似刻画股票或其他资产价格的运动
• 在每个很小时间区间内，股票价格要么上涨到uS，要么下跌到dS。

股价在Dt时间内的变化

对股息收益率为q的资产进行定价时的参数

当 Dt 很小时，方程的解为

用于期权定价的树形

反向归纳

• 最后节点上的期权价格是已知的
• 从树的末尾开始倒推，使用风险中性定价方法来计算每一个节点上的期权价格，检验提前行使期权是否更有利

例：看跌期权

Delta的计算

在 Dt 时间节点计算Delta

Gamma的计算

在 Dt 时间节点计算Gamma

Theta的计算

在0和2Dt中间的时间节点上计算Theta

Vega的计算

• 我们可以进行如下操作：
• 重新构造一个波动率为41%的二叉树，而不是 40%.
• 期权的价值为4.62
• Vega 值为4.62-4.49=0.13

使用二叉树对股指、货币与期货期权定价

与布莱克-斯科尔斯-默顿模型类似：

• 对股指期权而言， q 等于股指的股息收益率
• 对货币期权而言， q 等于外币无风险利率
• 对期货期权而言， q = r

对于支付股息的股票的二叉树模型

• 程序：
  • 将股息现值从股票中减去，然后构造二叉树
  • 通过在没一个节点上加上股息现值，来构造新的二叉树

这样就可以使得二叉树重组，假设类似于欧式期权定价的布莱克-斯科尔斯-默顿模型的假设

控制变量技术

构造树形的其他方法

三叉树

二叉树中参数依赖于时间的情形

• 将 r 或 q 设定为时间的函数不会改变二叉树的形状。二叉树中的概率变为时间的函数。
• 通过将时间的步长与方差率成反比就可以将 $\delta$ 设定为时间的函数。

利用蒙特卡罗方法计算pi

在正方形中随机取点，如何来计算 pi ?

蒙特卡罗计算期权价格

我们可以通过以下步骤对衍生产品定价：

1. 在风险中性世界里对S的随机路径进行抽样

2. 计算衍生产品的收益

3. 重复第1步和第2步，从而取得许多在风险中性世界里该衍生产品收益的样本

4. 计算收益的平均值

5. 以无风险利率对期望收益值贴现，所的结果即为衍生产品价格的估计值

股价变化抽样

一个更精准的方法:

扩展

当衍生产品的价格取决于多个变量时，我们可以在风向中性世界里模拟出每一个变量的路径，然后计算出衍生品的价格。

从正态分布中产生随机样本

• Excel里的指令 =NORMSINV(RAND()) 可以用来产生一标准正态分布的随机样本

二元相关正态随机变量抽样

蒙特卡罗模拟中的标准误差

• 期权价格估计值的标准误等于贴现收益的标准差除以观察值个数的平方根。

蒙特卡罗模拟的应用

• 蒙特卡罗模拟适用于路径依赖型期权、依赖于多个标的变量的期权、收益很复杂的期权的定价；
• 无法简单的用于美式期权的定价。

计算希腊值

方差缩减程序

• 对偶变量技巧
• 控制变量技巧
• 重点抽样法
• 间隔抽样法
• 矩匹配法
• 利用伪随机数序列

通过树形来抽样

• 可以从衍生产品定价的二叉树或三叉树中随机抽取路径，而不是从随机过程中进行抽样；
• 在到达的每个节点上，从0到1之间抽取随机数。如果随机数位于0和p之间，则选择向上的分支；如果位于p和1之间，则选择向下的分支。

有限差分法

有限差分网格

有限差分法

隐式有限差分法

显式有限差分法

隐式有限差分法与显式有限差分法

• 隐式有限差分法等价于三叉树法
• 隐式有限差分法等价于多步树形法

隐式有限差分法与显式有限差分法的区别

其他要点

• 将变量设为 ln S 比 S 要好些
• 隐式有限差分法与显式有限差分法的改进:
  • Hopscotch 方法（跳格法）
  • Crank-Nicolson 方法

信用衍生品

信用违约互换

• 当某个公司或者国家（参考实体）违约后，信用违约互换的买入方能从卖出方那里得到保护；
• 例：为了获得针对公司X的五年期保护，买入方每年要为100万美元本金支付90个基点的溢差；
• 这就是著名的信用违约溢差，在合约有效期内或者违约前进行支付；
• 如果出现违约，买入方有权将X公司100万面值的债券以100万美元的价格出售给卖出方。

CDS 结构

回收率 R，是参考实体的债券在刚刚违约后的价值与债券面值之比。

其他细节

• 通常每季度末支付一次；
• 信用事件发生后，对买入方而言仍有一笔应计付款（因为付款时间是期尾）；
• 可以使用债券或者现金（更为常见）进行交割；
• 通常使用拍卖程序来确定收益；
• 假设每季度末进行支付。如果收益率40%，3年零一个月后有一次违约事件发生，那么现金流将如何变化？

CDS的优势

• 允许信用风险像市场风险那样进行交易；
• 能将信用风险转移到第三方；
• 能分散信用风险。

使用CDS对冲债券头寸

• 考虑由5年期、每年收益率为6%的企业债券和5年期溢价为每年100个基点的CDS多头所组成的投资组合。投资组合（近似）为每年收益率为5%的无风险债券。
• 这意味着，债券收益溢差（相对于LIBOR而言）应接近于CDS溢差

CDS定价

• 参考实体的违约率为每年 2%；
• 假设支付每年发生一次，违约基本发生在年中，回收率为40%；
• 假设盈亏平衡的CDS利率为 s 。

无条件违约概率以及生存概率

时间 (年)	生存到年底的概率	在年内违约的概率
1	0.9802	0.0198
2	0.9608	0.0194
3	0.9418	0.0190
4	0.9231	0.0186
5	0.9048	0.0183

预期支付贴现值

时间 (年)	生存概率	预期付款	贴现因子	预期付款的贴现值
1	0.9802	0.9802s	0.9512	0.9324s
2	0.9608	0.9608s	0.9048	0.8694s
3	0.9418	0.9418s	0.8607	0.8106s
4	0.9231	0.9231s	0.8187	0.7558s
5	0.9048	0.9048s	0.7788	0.7047s
总计				4.0728s

预期收益的贴现值

时间 (年)	违约概率	回收率	期望收益	贴现因子	期望收益的贴现值
0.5	0.0198	0.4	0.0119	0.9753	0.0116
1.5	0.0194	0.4	0.0116	0.9277	0.0108
2.5	0.0190	0.4	0.0114	0.8825	0.0101
3.5	0.0186	0.4	0.0112	0.8395	0.0094
4.5	0.0183	0.4	0.0110	0.7985	0.0088
总计					0.0506

应计付款的贴现值

时间	违约概率	预期应计付款	贴现因子	预期应计付款的贴现值
0.5	0.0198	0.0099s	0.9753	0.0097s
1.5	0.0194	0.0097s	0.9277	0.0090s
2.5	0.0190	0.0095s	0.8825	0.0084s
3.5	0.0186	0.0093s	0.8395	0.0078s
4.5	0.0183	0.0091s	0.7985	0.0073s
总计				0.0422s

综合考虑

• 预期支付的贴现值应为 4.0728s + 0.0422s = 4.1150s
• 盈亏平衡的CDS溢差为
• 4.1150s = 0.0506 or s = 0.0123 (123 bps)
• 假设CDS是在一段时间之前签订的，溢差为150个基点，那对于信用卖出方而言，这一CDS的价值为4.1150×0.0150−0.0506 = 0.0111

CDS溢差隐含的违约概率

• 设新发行的5年期CDS的市场溢差为100个基点
• 逆向计算出隐含违约概率为每年1.63%
• 如果使用CDS溢差隐含的违约概率来对另外一个CDS定价，那么结果对回收率的敏感性不是很强（采用同样的回收率估算）

两点信用互换

• 它的收益为一个固定的值；
• 在我们的例子中，两点信用互换的预期收益为
• 0.0844，相应的盈亏平衡溢差为205个基点。

信用指数

• CDXNAIG，由北美125家投资级公司组成的组合。
• iTraxx，由欧洲125家投资级公司组成的组合。
• 这些组合在每年的3月20日和9月20日进行更新。
• 可以将指数视为对125家公司中每家公司的CDS保护的成本。

固定券息的使用

• CDS和CDS指数的交易越来越像债券交易。
• 券息是指定的。
• 如果溢差大于券息，信用保护的买入方需要支付
• ​ 名义本金×久期×(指数溢差−券息)
• 否则，信用保护的卖方需支付
• ​ 名义本金×久期×(券息−指数溢差)
• 久期乘以溢差就等于付款的贴现值

CDS远期合约与期权

• CDS远期合约：签订1年后按280个基点的价格买入Ford公司5年期信用保护的远期合约。如果Ford公司在1年内违约，远期合约将会自动失效。
• CDS期权：在1年后有权按280个基点的价格买入Ford公司5年期信用保护，如果Ford公司在1年内违约，期权自动失效。

篮筐式CDS

• 与普通CDS相似，唯一不同的是篮筐式CDS需要指定多个参考实体。
• 第一次违约CDS只对参考实体中的首次违约提供违约赔偿；
• 第2、3……n次的违约赔偿与第一次的类似
• 为什么定价与违约的相关性有关？

总收益互换

• 将某个资产组合的总收益与LIBOR加上一个溢差相交换的互换合约；
• 会有最后一次付款以反映债券价值的变化；
• 常常被当做融资工具。

资产支持债券

• 资产支持证券是在贷款、债券、信用卡应收款、按揭贷款、汽车贷款、飞机租赁、音乐版权等资产组合的基础上创设的；
• 资产的收益被分配到不同的份额中；
• 现金流按“瀑布形式”进行分配，资产产生的现金流首先要分配给最高级份额，直到这个份额收到所有的承诺回报后，现金流才会向下一层份额进行分配。

债务抵押债券

• 标的资产为债券组合时，ABS被称为现金CDO；
• 合成CDO涉及与CDS空头合约相似的结构；
• 在合成CDO中，股权份额首先承担损失支付，剩下的损失由中间份额承担，以此类推。

合成CDO的例子

• 股权份额承担CDS的支付，直到达到合成CDO本金的5%。股权份额收取份额本金剩余数量上每年1000个基点的差价。
• 中间份额承担超过合成本金5%，但最多不超过20%的支出。该份额收取份额本金剩余数量上每年100个基点的差价。
• 高级份额承担超过20%的支出。该份额收取份额本金剩余数量上每年10个基点的差价。

合成CDO细节

• 收益由剩余份额的本金进行支付。
• 例：当损失达到CDS总本金的8%时，如果份额1已经不存在了，那么份额2能获得80%本金基础上的承诺溢差（200个基点）

单份额交易

• 即使不构造任何标的资产组合，仍然可以交易份额。
• 现金流可以由一个想象中的参考组合决定

iTraxx标准份额的报价

除了0-3%份额外，其余报价是指购买该份额保护每年所需的费用，以基点计算。0-3%份额的标价等于必须预先支付的比率（以份额面值为基础），另外每年支付剩余份额本金上500个基点。

日期	0-3%	3-6%	6-9%	9-12%	12-22%	指数
Jan 1, 2007	10.34%	41.59	11.95	5.60	2.00	23
Jan 1, 2008	30.98%	316.90	212.40	140.00	73.60	77
Jan 1, 2009	64.28%	1185.63	606.69	315.63	97.13	165

合成CDO与篮筐式CDS份额的定价

• 一种流行的方法是使用单因子高斯Copula模型来定义违约时间之间的相关性。
• 通常假定任何两家公司的相关系数相同，所有无条件违约分布都相同。
• 市场参与者更喜欢使用由市场报价隐含的相关系数。

在因子条件下的累计违约概率

CDO份额估值

估值

份额价值=C-sA-sB，其中s为溢差

积分的计算

通过高斯求积公式：

隐含相关系数

• 复合（份额）相关系数是由份额价格所隐含的相关系数，使用单因子高斯Copula模型来确定。
• 基础相关系数是使0~X%份额的价格与市场价格保持一致的相关系数，X%是离开点（标准份额的终点）。

计算基础相关系数的程序

• 计算每一个份额的复合相关系数
• 计算每一个份额预期损失的现值
• 加总这些现值就得到基础相关系数份额预期损失的现值
• 使用单因子高斯Copula模型来计算与预期损失一致的相关系数参数。

2007年1月31日iTraxx的隐含相关系数

份额	0-3%	3-6%	6-9%	9-12%	12-22%
复合相关系数	17.7%	7.8%	14.0%	18.2%	23.3%

份额	0-3%	0-6%	0-9%	0-12%	0-22%
基础相关系数	17.7%	28.4%	36.5%	43.2%	60.5%

非标准份额

• 更好的办法是对预期损失使用插值法，而不是对基础相关系数使用插值法。
• 为了保证无套利，0~X%份额的预期损失的速度必须随着X的降低而递增。

2007年1月31日iTraxx 欧洲指数中0到X%份额的预期损失贴现值占整体面值的百分比

其它模型

• 异质模型
• 其他copula模型
• copula相关系数取成F的函数
• 由市场报价计算copula隐含函数
• 动态模型

奇异期权

奇异期权的类型

• 组合期权
• 永续美式看涨与看跌期权
• 非标准美式期权
• 缺口期权
• 远期开始期权
• 棘轮期权
• 复合期权
• 选择人期权
• 障碍期权
• 二元式期权
• 回望期权
• 喊价式期权
• 亚式期权
• 资产交换期权
• 涉及多种资产的期权
• 波动率和方差互换

组合期权

• 标准期权构成的证券组合
• 我们在第12章曾讨论过若干组合期权：牛市差价、熊市差价、跨式组合，等等。
• 交易员经常将组合期权设计成初始成本为0。
• 一个流行的组合期权是范围远期合约。

永续美式看涨与看跌期权

非标准美式期权

• 提前行使时间只限于期权有效期内的某些特定日期（百慕大式期权）。
• 提前行使只限于期权有效期内的某个特定区间（初始“待定”时间）。
• 在有效期内，期权执行价格会有所变化（认股权证等）。

缺口期权

远期开始期权

棘轮期权

• 它是一系列由某种方式确定执行价格的看涨或看跌期权组。
• 例如，棘轮期权可能包含20个期限为三个月的平值期权，因此期权的有效期为5年。
• 前一个期权到期后，下一个平价期权开始生效。

复合期权

• 期权上的期权
  • 看涨-看涨期权
  • 看涨-看跌期权
  • 看跌-看涨期权
  • 看跌-看跌期权
• 可以使用解析公式求解
• 与普通期权相比，价格非常的低

选择人期权

作为组合期权的选择人期权

障碍期权

• 当标的资产价格达到一定水平时，敲入期权才开始存在

  • 敲入期权

• 当标的资产价格达到一定水平时，敲出期权不再存在

  • 敲出期权

• 股价必须从下往上到达障碍

  • 上涨期权

• 股价必须从上往下到达障碍

  • 下跌期权

• 此处的期权既可以是看涨也可以是看跌

• 共有八组可能的组合

平价关系式

二元式期权

看涨期权的分解

回望期权

喊价式期权

亚式期权

• 没有确切的解析式对其进行定价。
• 在平均股票价格服从对数正态分布的假设下近似定价。

交换期权

篮筐式期权

• 篮筐式期权是指一种买卖组合资产的期权。
• 通过计算篮筐资产在期权到期时的前两阶矩，并假定篮筐资产在期权到期时服从对数正态分布，我们可以得出一个更快的定价方法。

波动率和方差互换

• 波动率互换是指将一段时间内（0~T）资产价格所实现的波动率与某一事先约定的波动率进行互换的合约。
• 方差互换是指将一段时间内（0~T）资产价格已实现的方差与某一事先约定的方差进行互换的合约。
• 在计算波动率或方差率时，一般假定资产日收益的均值为0。

方差互换的定价

• 在风险中性世界里，0与T之间的平均方差的期望值可以通过具有不同执行价格和期限T的欧式看涨与看跌期权价格来进行计算。
• 对于资产价格的任意值S *

波动率互换

• 波动率互换的定价需要使用如下近似关系：

VIX指数

• S&P500指数在30天里的平均方差可以由CBOE（以S&P500指数为标的）欧式看涨期权和看跌期权的市场价格来进行计算，记为 。
• 乘以365/30再开方就得到VIX指数的值。
• 有些奇异期权的对冲比对一般期权的对冲更为容易（如亚式期权）；
• 有些则更难 （如障碍期权）。

静态期权复制

• 这涉及使用一个普通期权组合来近似复制奇异期权。
• 基本原理：当两个交易组合在边界上的值相同，它们在边界内的所有点上值也相同。
• 静态期权复制是相对于动态期权复制而言的，动态期权复制要求连续的交易来使期权匹配。

例：

边界点：

例：

我们可以进行如下操作：

• +1.00欧式期权：期限为0.75年，敲定价格为50
• –2.66欧式期权：期限为0.75年，敲定价格为60
• +0.97欧式期权：期限为0.50年，敲定价格为60
• +0.28欧式期权：期限为0.25年，敲定价格为60

• 复制组合的初始价值为0.73，而上涨-敲出期权价格为0.31。
• 当我们使用更多期权时，复制组合的价格收敛于奇异期权的价格。
• 例如，当在边界上18个点都与上涨-敲出期权价格匹配时，复制期权组合的价格为0.38；如果是100个点，复制期权组合的价格降为0.32。

静态期权复制的应用

• 为了对冲期权，我们可以卖空满足边界条件的复制期权组合。
• 当达到边界点时，必须将对冲组合平仓。

再谈模型和数值算法

几何布朗运动的三种替代形式

• 常方差弹性模型（CEV）
• 跳跃-扩散混合模型
• 方差-Gamma模型

CEV模型

CEV模型中的隐含波动率

专业术语

模拟跳跃过程

• 在每一个时间步骤上，
• 从二项式分布中抽取样本来确定跳跃的次数
• 抽样确定每一次跳跃的幅度

跳跃与波动率微笑

• 跳跃对期限较短的期权的隐含波动率有重大影响。
• 跳跃对期限较长的期权隐含波动率的效应就微小得多。

方差-Gamma模型

• g 定义了在时间T内信息到达的速度 （g有时被称为度量经济时间） 。
• 如果g很大，lnS变化量的均值和方差也较大；
• 如果g很小，信息到达量很少，lnS变化量的均值和方差也较小。

时变波动率

随机波动率模型

• 当 V 和 S 不相关时，欧式期权的价格等于布莱克-斯科尔斯-默顿价格在平均方差率的分布上进行积分。
• 当 V 和 S 负相关时，我们得到向下倾斜的波动偏态，这与股票市场上观察到的结果类似。
• 当 V 和 S 正相关时，偏态向上倾斜（部分商品有时会出现这种模式） 。

SRBR模型

• 受到从业人员的青睐
• 优点是可以很好的匹配在实际中观察的波动率微笑

IVF模型

波动率函数

使模型与欧式期权价格相匹配的波动率函数为

IVF模型的优势和劣势

• 模型在未来每一个时点上都匹配资产价格的概率分布；
• 模型给出的资产在两个时间或多个时间的联合分布却不一定准确。

可转换债券

概率：

节点计算：

例：

• 9个月期面值为100美元的零息债券
• 可转换为2股股票
• 在任意时刻都能以113美元的价格赎回
• 股票的最初价格为50美元
• 波动率为每年30%
• 股票不支付股息
• 无风险利率为5%
• 违约密度l为每年1%
• 回收率为40%

树形：

数值计算程序

• 使用二叉树方法来对路径依赖期权定价
• 障碍期权定价
• 与两个随机变量相关的期权定价
• 使用蒙特卡罗模拟法对美式期权定价

路径依赖型期权: 传统观点

• 树形方法对美式期权的定价效果较好，但不能用来对路径依赖型期权进行定价。
• 蒙特卡罗模拟法对路径依赖型期权的定价较好，但不能用来对美式期权进行定价。

树形方法应用的扩展

• 在对部分路径依赖型期权进行定价时，使用倒推的方法。
• 我们先用回望期权来说明这种方法，然后使用这种方法来对亚式期权进行定价。

回望期权

例:美式回望看跌期权

为什么这种方法有效？

这种方法之所以对回望期权的定价有效，是因为

• 期权收益只与股票价格路径的一个函数有关（我们称之为“路径函数”） 。
• 每个节点上，路径函数的数值可由该节点上的股票价格 和上一个节点上路径函数的数值计算得出。
• 随着时间步长的增长，节点上路径函数不同取值的个数不会增长得太快。

推广：

• 这种方法可以被推广到对每一个节点所对应的路径函数值的数量没有限制的情形。
• 基本思想是没有必要考虑路径函数每一个可能的取值。
• 在每个节点上，只考虑有代表意义的路径函数值就够了。

向前推进：

• 第一步计算每一个节点上路径函数的最大值和最小值。
• 第二步是在最小值和最大值的区间中选择路径函数的代表性值。
  • 最简单的方法：选取最小值和最大值，对两者中间的区域进行N等分。

倒退归纳：

• 在每一个节点上，对路径函数所有可能的取值，我们按照通常的方法从树形的后面开始进行倒推。
• 当为了得到路径函数的值而需要衍生产品在某个节点上的值时，如果节点没有直接考虑，那么我们使用线性或二次插值的方法。

算术平均值期权定价的局部计算

使用树形方法来对障碍期权进行定价

• 当使用树形方法来对障碍期权进行定价时，收敛速度较慢。
• 这是因为，障碍期权在树形方法中的设定不准确。

敲出期权的实际障碍与树形结构的障碍：二叉树情形

三叉树的内外部障碍

解决方法

• 假定内部障碍为真正障碍时，计算期权价格；

• 假定外部障碍为真正障碍时，计算期权价格；

• 对以上两个价格进行插值。

• 确保节点总是落在障碍上。

• 利用自适用网格方法。

  在所有情形中，三叉树优于二叉树。

用三维树形对两个相关变量进行建模

方法

• 将相关变量变换为不相关的变量，对变换后的变量构建树形。
• 通过调整节点的位置来考虑相关性。
• 通过调整概率来考虑相关性。

蒙特卡罗模拟法与美式期权

• 两种方法：
• 最小二乘法
• 行使边界参数化方法

考虑一个无股息股票上的3年期美式看跌期权，当前的股票价格为1.00，期权执行价格为1.10，无风险利率为每年6%。

模拟路径

路径	t = 0	t =1	t =2	t =3
1	1.00	1.09	1.08	1.34
2	1.00	1.16	1.26	1.54
3	1.00	1.22	1.07	1.03
4	1.00	0.93	0.97	0.92
5	1.00	1.11	1.56	1.52
6	1.00	0.76	0.77	0.90
7	1.00	0.92	0.84	1.01
8	1.00	0.88	1.22	1.34

最小二乘法

使用最小二乘法从终点开始倒推计算每个时点上继续持有期权的价值。

实践中对继续持有时的期权价值计算涉及更为复杂的函数形式，需要抽取多个样本路径。

将行使边界参数化的方法

• 假设可以使用某种方法来对提前行使边界进行参数化。
• 进行第一轮的蒙特卡罗模拟，倒推计算最优参数值。
• 使用这些参数定义的提前行使边界来进行新一轮的蒙特卡罗模拟。

一个应用例子

鞅与测度

依赖于单个变量的衍生产品

构建无风险交易组合

风险市场价格

多个标的变量时的扩展分析

鞅

• 鞅是没有漂移的随机过程。
• 鞅的性质：在将来任何时间的期望值都等于它今天的值。

两种世界

等价鞅测度结果

计价单位

• 我们将风险的市场价格等于g的波动率的世界，称为“由计价单位g定义的世界”，相应期望记为Eg

计价单位g的其他选择

• 货币市场账户
• 零息债券价格
• 年金因子

货币市场账户作为计价单位

零息债券价格作为计价单位

远期价格

• 在一个由P(0,T)定义的世界里，T时刻证券的远期价格等于它的期望价格。

利率

年金因子作为计价单位

年金因子与互换利率

多个因子情形下的拓展

应用

• 在利率随机时对布莱克模型进行改进。
• 资产交换期权的定价。

布莱克模型

将一个价值为U的投资资产转换成一个价值为V的投资资产的期权

• 在由计价单位U定义的世界里，能对该期权进行定价。
• 期权的价值为

计价单位变换

附：何小锋教授金融工程分享