Introduction
Symbols Table
Basic Math
Quantum Information Science
Quantum sensing（量子传感）
Improving sensitivity and spatial resolution.
Quantum cryptography（量子密码学）
Privacy founded on fundamental laws of quantum physics.
Quantum networking（量子网络）
Distributing quantumness around the world.
Quantum simulation（量子模拟）
Probes of exotic quantum many-body phenomena.
Quantum computing（量子计算）
Speeding up solutions to hard problems.
Quantum information concepts（量子信息概念）
Entanglement, error correction, complexity, …
Two fundamental ideas
Quantum complexity
Why we think quantum computing is powerful.
Quantum error correction
Why we think quantum computing is scalable.
Quantum entanglement（量子纠缠）
- 对仅 300 个量子位的典型量子状态的完整描述需要比可见宇宙中原子数更多的位。
Why we think quantum computing is powerful
- 经典上认为很难的问题，对量子计算机来说很容易。 因式分解是最著名的例子。
- 复杂性理论论证表明量子计算机难以经典模拟。
- 我们不知道如何使用数字（“经典”）计算机有效地模拟量子计算机。 最著名的模拟算法的成本随着量子比特的数量呈指数增长。
但是量子计算的力量是有限的。 例如，我们不相信量子计算机可以有效地解决 NP 难优化问题的最坏情况（例如，旅行商问题）。
“The theory of everything?”
- “万有理论甚至不是万事万物的理论……
- 我们知道这个方程是正确的……但是，当粒子数超过10个左右时，它无法准确求解。 没有计算机存在，或者永远不会存在，可以打破这个障碍，因为它是维度的灾难
- ……我们已经成功地将所有普通的身体行为简化为一个简单、正确的万有理论，结果却发现它对许多非常重要的事情一无所知。”
量子计算机可以有效地模拟自然界中发生的任何物理过程。
Why quantum computing is hard
- 我们希望量子位彼此之间有强烈的相互作用。
- 我们不希望量子位与环境交互。
- 除非我们控制或测量它们。
Decoherence（去相干）
退（去）相干解释了为什么量子现象虽然可以在物理实验室研究的微观系统中观察到，但在我们日常经验中遇到的宏观物理系统中却没有表现出来。
为了抵抗退相干，我们必须防止环境在计算过程中“学习”量子计算机的状态。
Quantum error correction（量子纠错）
受保护的“逻辑”量子信息以许多物理量子位的高度纠缠状态进行编码。
如果环境与受保护系统在本地交互，则环境无法访问此信息。
Quantum Computational Supremacy（量子计算霸权）
经典系统无法有效模拟量子系统（广泛相信但未经证实的猜想）
可以说是我们所知道的关于量子和经典之间差异的最有趣的事情
About Sycamore
完全可编程的基于电路的量子计算机。 n = 53 个工作量子位在二维阵列中，最近邻耦合。
具有 20 层 2 量子位门的电路可以在几分钟内执行数百万次，产生可验证的结果。
使用经典的超级计算机来模拟这个量子电路是很困难的。 这至少需要几天时间，甚至可能更长。
此外，经典模拟的成本随着量子比特的数量呈指数增长。
结论：硬件运行良好，可以在经典模拟非常困难的情况下产生有意义的结果
What quantum computational supremacy means
它是基于可编程电路的量子计算机。在实验物理学方面取得了令人印象深刻的成就，并证明了构建量子计算硬件的持续进展。
可以说，我们已经进入了可以验证量子世界的奢侈指数资源的状态。这一确认并没有让（大多数）物理学家感到惊讶，但它是地球上技术的一个里程碑。建造一台量子计算机真的非常非常困难，而不是非常困难。 硬件工作正常； 我们可以开始认真搜索有用的应用程序。但是 Sycamore 为证明量子计算霸权而执行的特定任务并不是特别有用
Quantum computing in the NISQ Era
Quantum 2, 79 (2018), arXiv:1801.00862
（嘈杂的）50-100 量子比特量子计算机已经问世。（NISQ = noisy intermediate-scale quantum（嘈杂的中尺度量子））
NISQ 设备无法使用当前最强大的超级计算机通过蛮力模拟。噪音限制了 NISQ 时代技术的计算能力。NISQ 将成为探索物理学的有趣工具。 它可能还有其他有用的应用程序。 但我们不确定这一点。NISQ 本身不会改变世界。 相反，它是朝着未来更强大的量子技术迈出的一步。潜在的变革性可扩展量子计算机可能还需要几十年的时间。 我们不确定需要多长时间
Hybrid quantum/classical optimizers
我们不希望量子计算机解决 NP 难题的最坏情况，但它可能会找到更好的近似解，或者更快地找到它们。经过数十年的努力，经典优化算法（针对经典问题和量子问题）非常复杂和完善。我们不知道 NISQ 设备是否可以做得更好，但我们可以尝试一下，看看它的效果如何。
The era of quantum heuristics
有时，即使理论家无法提前验证其性能，算法在实践中也是有效的。示例：深度学习。 到目前为止主要是修补，没有太多的理论投入。
可能的量子示例：量子退火器、近似优化器、变分特征求解器、量子机器学习……玩弄可能会给我们带来新的想法。例如，< 100 量子比特，深度 < 100，我们可以做什么？ 我们需要量子算法专家和应用程序用户之间的对话。
NISQ 时代的量子设备将不受量子纠错保护。 噪音会限制可以准确执行的计算规模。量子纠错（QEC）对于解决一些难题至关重要。 但是 QEC 在量子比特和门的数量上带来了很高的开销。此成本取决于硬件质量和算法复杂度。 使用当今的硬件，解决（比如说）有用的化学问题可能需要为每个受保护的逻辑量子位提供数百到数千个物理量子位。最近的估计：2000 万个物理量子位来破解 RSA 2048（Gidney，Ekerå 2019），门错误率 10-3。为了实现可扩展性，我们必须跨越数百到数百万物理量子位的艰巨“量子鸿沟”。 可能还要等一下。量子门保真度、系统工程、算法设计和纠错协议的进步可以加速完全容错的量子计算机的到来。
量子计算霸权演示证实了量子世界提供的奢侈计算资源。在 NISQ 时代，我们可以探索启发式量子算法。 有用应用的近期量子优势是可能的，但不能保证。
对于真正可扩展的量子计算，将需要量子纠错。 但 QEC 的管理成本高得令人望而生畏，而且在短期内不可行。较低的量子门错误率将降低量子纠错的开销成本，并扩展不使用纠错的量子算法的范围。NISQ 本身不会改变世界。 实际上，近期量子平台的目标应该是为使用未来设备获得更大收益铺平道路。 容错 QC 的进展必须继续成为量子技术人员的重中之重。
Quantum information vs. Classical information
- 随机性。 盖革计数器中的点击本质上是随机的，而不是伪随机的。 即使对状态有最完整的了解，也无法预测结果。
- 不确定性。 操作员 A 和 B 不通勤意味着测量 A 会影响 B 的后续测量结果。
- 纠缠。 整体比部分更明确。 即使我们对联合系统 AB 的（纯）状态有完整的可能知识，A 的（混合）状态也可能是高度不确定的。
Qubit
二维复数希尔伯特空间中的向量（实际上是“射线”，因为按照约定归一化为 1，并且整体相位无关紧要）
特殊情况下的“经典”，其中 |0〉 或 |1 〉 是“承诺的”。两个正交状态 |0 ＞ 和 |1 ＞ 是完全可区分的。 如果 Alice 将一个或另一个发送给 Bob，他可以在 { |0 〉, |1 〉} 基础上进行测量并识别状态。
orthogonal states正交状态
也完全可以区分。假设 Alice 向 Bob 发送 |1 〉 或 |+ 〉 。现在鲍勃不能完全区分状态。 如果两个状态的可能性相同，他的最佳测量以 cos2(π/8) ≈.853 的概率成功，投影到所示的正交基上。 （证明它！概括它！）
替代：有时不确定的测量，但在确定时正确识别状态
Information vs. disturbance
假设 Alice 准备 |ϕ〉 或 |ψ〉 。 为了区分这两种可能的状态，Eve 执行了酉变换，在保持 Alice 的状态不变的情况下旋转她的探针
这里| e 〉 和 | f 〉是归一化状态。 由于 U 保留了内积，
如果|ϕ〉和|ψ〉是非正交的，则<f | e> = 1 探针的状态相同。 Eve 对探测器的测量无法揭示有关状态是 |φ> 还是 |ψ> 的任何信息。 另一方面，如果|φ> 和|ψ> 是正交的，则探测状态也可以是正交的。 Eve 可以复制信息。
Tensor Product（张量积）
如果可以在 Alice 或 Bob 一侧区分，则复合系统的基本状态是可区分的
如果 Alice 和 Bob 都拥有量子比特，则基础状态
都是可以区分的。
Many qubits
Which decomposition into subsystems?
通常由空间局部性决定。 量子位可能位于不同的城市，或编码在不同的原子中
只有 2n 个实参数。 它可以由 n 个参与方创建，每个参与方都在他/她的城市中进行本地活动。如果（纯）状态不是积状态，则它是纠缠的。 本地行为的远程方无法创建纠缠，即使他们进行经典通信
Entanglement
然而，通过将量子比特成对地组合在一起，或者通过在各方之间发送量子比特消息，可以构建任意纠缠状态
两个量子位门是通用的。 然而，一般来说，这种结构是低效的。 对于大多数纠缠态，从乘积状态开始，需要指数级数量的双量子位门来创建状态
Quantum computer: the circuit model
注：一组通用的门可以有效地模拟另一组，因此复杂性的概念与量子硬件的细节无关。
Quantum computer: the model
显然，该模型可以由具有随机数生成器的经典计算机模拟。但是存在指数减速，因为模拟涉及指数大小 (2^n × 2^n) 的矩阵。
量子计算机可能会有效地解决一些经典计算机无法有效解决的问题。 （“高效”意味着量子门的数量=问题输入位数的多项式。）
这个“电路模型”是否足够强大，可以有效地模拟自然界中发生的任何物理过程（“强量子丘奇-图灵论点”）？
一些挑战是：
- 局域量子场论（粒子物理学标准模型）。 任意小波长的场模，因此每单位体积有无限多个自由度。 需要在资源核算中包括能源以及时间和空间。
- 量子引力。 可以用局域量子场论或（大）矩阵量子力学来描述。 但微妙的资源核算，因为大时空中的短距离对应于双边界场理论中的长距离。
Three crucial lessons
(1) Quantum computers can solve hard problems.量子计算机可以解决难题。
(2) Quantum errors can be controlled.可以控制量子误差。
(3) Quantum hardware can be constructed. 可以构建量子硬件。
Question：
(1) 量子计算机可以有效解决哪些问题？ 什么问题不能？
(2) 我们能不能建立一个“量子互联网”，如何使用它？
(3) 我们能否构建比现在更可靠的量子硬件？
(4) 量子信息概念如何阐明物理科学中的基本兴趣问题
Density Operators（密度算子）
Axioms for closed quantum systems（封闭量子系统的公理）
公理在数学上表述了我们如何建模：(1) 状态，(2) 可观察量，(3) 测量值，(4) 动力学，(5) 组合。
(1) A state is a ray in Hilbert space
(2) An observable is a self-adjoint operator on Hilbert space.
*(3) Probabilities of measurement outcomes are determined by the “Born rule”: *
*(4) Time evolution is determined by the Schroedinger equation: *
(5) The Hilbert space of composite system AB is the tensor product of A and B:
Qubit
量子位与正面或反面的翻转硬币有什么不同吗？ 是的，因为虽然只有一种方式可以查看位，但查看量子位的方式有很多种！
尽管在Bloch球体上的测量“沿z轴”不会产生明确的结果，但是沿着不同适当所选择的轴的测量确实产生了一个确定的结果。从Qubit状态的单个副本产生，没有先验的知识 关于状态，我们不能明确地确定 θ 和 φ。 但是鉴于许多相同准备的副本，我们可以。
Quantum Interference
Open quantum systems
我们已经为封闭的量子系统制定了量子规则。 但是我们现在要考虑开放量子系统的相应规则——一个与其环境相互作用的系统，其中环境是不可观察的。 在这种情况下，规则是不同的。
Properties of the density operator
Schmidt decomposition of a bipartite pure state
Faster than light?
因此（在这种情况下）施密特基是不明确的；二分状态可以用不止一种方式（实际上是无限多种方式）以施密特形式表达。
Alice 和 Bob 想利用他们共享的纠缠进行通信。 Alice 可以在 z 基上进行测量，找到均匀随机的结果。如果 Bob 也以此为基础进行测量，他会发现相同的随机结果。所以 Alice 和 Bob 获得相关的随机位。但这不会从一方向另一方传达任何信息。他们尝试不同的方法。为了发送 0，Alice 在 z 基础上测量她的量子位；要发送 1，她在 x 基础上测量她的量子位。因此，她为 Bob 准备了第一种情况下沿 z 轴上下自旋的均匀混合物，以及第二种情况下沿 x 轴上下自旋的均匀混合物。这也行不通。在这两种情况下，Bob 都具有相同的密度算子，并且他的系统上的任何测量都无法区分这两种情况。
当 Alice 和 Bob 共享一个纠缠状态时，他们的两个量子比特是相关的。这与经典相关性不同，因为相关性发生在一个以上的测量基础上。但是相关性不能用于即时通信！
“Quantum eraser”
Alice 可以在 z 或 x 的基础上测量她的量子位，并在 Bob 测量他的量子位之前告诉 Bob 基础和结果。那么他就会有一个已知的 z 本征态或一个已知的 x 本征态。
他可以使用这些知识更新他对量子位的描述，恢复更新后的纯状态。但是他需要来自 Alice 的消息来执行更新。 沿 z 轴上下自旋的非相干混合不同于沿 z 轴上下自旋的相干叠加。在后一种情况下，而不是前者，相对相位很重要。
仅当没有人可能知道自旋是否沿 z 轴向上或向下指向时，沿 z 轴上下自旋的相干叠加可以表现为沿 x 轴指向的自旋。 当A和B纠缠在一起时，情况并非如此。这两个自旋是相关的，因此例如自旋 A 编码关于自旋 B 的“哪个方向”信息。我原则上可以通过测量沿 z 轴的自旋 B 来确定我们的自旋 A 是沿 z 轴向上还是向下。
但是有可能擦除 B 中编码的 A 的哪个方向的信息。例如，假设 Bob 沿 x 轴测量他的自旋，并获得一个确定的结果，他可以将这个结果报告给 Alice。当爱丽丝从鲍勃那里收到这个信息时，她有一个纯粹的状态，一个沿着 z 轴上下自旋的相干叠加。这是可能的，因为有关自旋是沿 z 轴向上还是向下的信息已被永久删除！